设函数f(x)=lnx-ax,(a∈R) (Ⅰ)判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当lnx<ax(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;

Question

设函数f(x)=lnx-ax,(a∈R) (Ⅰ)判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当lnx<ax(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围; (III)若k，n∈正整数，且1《k《n，证明：1/(1+1/n)^n+……1/(1+k/n)^n+……1/（1+n/n）^n>1/(e-1)
尤其是第三问，网上现有的证明都不对，希望能详细一点，谢谢！！！

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Answer 1

解：
f(x)=lnx-ax
f'(x)=1/x-a
f'(x)=(1-ax)/x
1、令：f'(x)＞0，即：(1-ax)/x＞0
有：1-ax＞0、x＞0………………(1)
或：1-ax＜0、x＜0………………(2)
①当a＜0时：
由(1)解得：x＞0；由(2)解得：x＜1/a。
②当a=0时：
由(1)解得：x＞0；轻易看出：(2)矛盾。
③当a＞0时：
由(1)解得：0＜x＜1/a；由(2)解得：x＞1/a、x＜0，矛盾，舍去。
故：
当a＜0时：f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，1/a)∪(0，∞)；
当a=0时：f(x)的单调增区间是：x∈(0，∞)；
当a＞0时：f(x)的单调增区间是：x∈(0，1/a)。
2、令：f'(x)＜0，即：(1-ax)/x＜0
有：1-ax＞0、x＜0………………(3)
或：1-ax＜0、x＞0………………(4)
①当a＜0时：
由(3)解得：0＞x＞1/a；由(4)解得：x＞0、x＜1/a，矛盾，舍去。
②当a=0时：
由(3)解得：x＜0；轻易看出：(4)矛盾。
③当a＞0时：
由(3)解得：x＜0；由(4)解得：x＞1/a。
故：
当a＜0时：f(x)的单调增减间是：x∈(0，1/a)；
当a=0时：f(x)的单调减区间是：x∈(-∞，0)；
当a＞0时：f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，0)∪(1/a，∞)。
3、综上所述：
①、当a＜0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，1/a)∪(0，∞)；
f(x)的单调增减间是：x∈(0，1/a)。
②、当a=0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(0，∞)；
f(x)的单调减区间是：x∈(-∞，0)。
③、当a＞0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(0，1/a)；
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，0)∪(1/a，∞)。

第二问中的”当lnx<ax(0,+∞)“是什么意思啊？
不明白，因此无法解答。

追问

打错了 意思是说“lnx<ax，x∈
(0,+∞)“ 其实我最想知道的是第三问，原题如下 希望能给出第三问的解答

Answer 2

（1）f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x(x>0),
a<=0时f'(x)>0,f(x)是增函数；
a>0时0<x<1/a,f'(x)>0,f(x)是增函数；x>1/a,f'(x)<0,f(x)是减函数。
（2）lnx<ax(0,+∞)上恒成立，
∴f(x)<0,由（1），a>0,且f(1/a)=-lna-1<0,lna>-1,a>1/e,为所求。
（3）n=1时左边=1/2，不等式显然成立。n>=2时，
（1+k/n)^n=[(1+k/n)^(n/k)]^k<e^k,k=1,2,……，(n-1);
∴左边>1/e+1/e^2+……+1/e^k+……+1/e^(n-1)+1/2^n
=(1/e-1/e^n)/(1-1/e)+1/2^n=[1-1/e^(n-1)]/(e-1)1/2^n
=1/(e-1)-1/[(e-1)e^(n-1)]+1/2^n
>1/(e-1)=右边.

Answer 3

函数定义域为x>0，对函数f(x)求导得
f'(x)=a-1/x
极值点为f'(x)=0=a-1/x，即x=1/a
（1）讨论：
当a≤0时，f'(x)<0恒成立，即函数单调递减，无极值点
当a>0时，f(x)在x=1/a处取得极值，即极值点个数为1个
（2）函数在x=1处取得极值，则a=1，f(x)=x-1-lnx
f(x)≥bx-2恒成立，即(1-b)x+1≥lnx恒成立
即直线y=(1-b)x+1始终在曲线u=lnx的上方
直线过定点(0,1)，始终在曲线上方，则二者无交点
首先，直线斜率1-b必然大于0，否则必与曲线有交点，即有b<1
其次，直线斜率必大于曲线过点(0,1)的切线斜率，否则也有交点
对曲线求导得u'=1/x，即切线斜率为u'=1/x
设切点为P(m,n)，则有u'(m)=1/m=(n-1)/m => n=2
u(m)=lnm=n=2 => m=e²
直线斜率大于曲线斜率，则有 1-b>1/m=1/e²，解得b<1-1/e²
∴实数b的取值范围为b<1-1/e²
（3）e-1<y<x => x-y>0, x+1>y+1>e
ln(x+1)>ln(y+1)>1, e^(x-y)>1
令g(t)=e^t/ln(t+1), 则g'(t)=e^t[ln(t+1)-1/(t+1)]/ln²(t+1)
由于ln(t+1)-1/(t+1)=[(t+1)ln(t+1)-1]/(t+1)
在t+1>e时，有(t+1)ln(t+1)-1>0，∴g'(t)>0此时恒成立
∴g(t)在t+1>e时为增函数
∴当x>y>e-1时，有g(x)>g(y)
即e^x/ln(x+1)>e^y/ln(y+1)
两边同乘以e^(-y)*ln(x+1)即可得
e^(x-y)>{ln(x+1)}/{ln(y+1)}

追问

第三问没看懂啊 原题如下图

希望能给出正确详细的解答