一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 (1)从袋子中任意摸

Question

一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。
(1)从袋子中任意摸出三个球，均为白球的概率。
(2)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球，则摸球成功（每次操作完成后放回）某人连续摸了三次，记摸球成功的次数为E，求E的分布列和数学期望。
已知函数f(x)=3x+2-(a/x)-(3a+1)lnx
(x>0且a为常数)
a=4时，求函数f(x)在（1/3,无穷）上的最小值

Answer 1

第一题
1) C(4,3)/C(10,3) = 1/30;
2) 红球多于白球，则红球两个，白球一个，所以概率是 C(6,2)*C(4,1)/C(10,3) = 1/2; 即摸球成功的概率是1/2; 所以摸球失败的概率也是1/2;
成功次数 0 1 2 3
概率 C(3,0)*(1/2)^3=1/8 C(3,1)*1/2*(1/2)^2=3/8 C(3,2)*(1/2)^2*1/2=3/8 C(3,3)*(1/2)^3=1/8
所以 E = 0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8 = 1.5

第二题
a=4代入函数得f(x)=3x+2-4/x-13lnx, f'(x) = 3+4/x^2-13/x; x>0
令 f'(x)>0解得f(x)单调递增区间为 x>(√43 - 2)/3>1/3;
令 f'(x)<0解得f(x)单调递减区间为 0<x<(√43 - 2)/3;
所以函数f(x)在（1/3,无穷）上的最小值 为 f((√43 - 2)/3) = √43-12(√43 - 2) - 13ln(√43 - 2)/3
=24+13ln3-11√43-13ln(√43-2)