X,Y服从正态分布，X，Y的相关系数为ρ，a、b满足a+b=1且1≥a，b≥0，如何确定a， b使S=aX+bY的方差最小

Question

Assume that random variables 𝑋 and𝑌 are normally distributed.
𝑋~𝑁(𝜇𝑋, 𝜎𝑋2) 𝑌~𝑁(𝜇𝑌, 𝜎𝑌2)
The correlation between 𝑋and𝑌 is 𝜌. How can you choose constants 𝑎 and 𝑏 such
that you minimize the variance of the random variable sum 𝑆=𝑎𝑋+𝑏𝑌 under the
constraints that a+𝑏=1, 0≤𝑎≤1 𝑎𝑛𝑑 0≤𝑏≤1 ?

Answer 1

∵EX=EY=μ，DX=DY=σ²，
∴X～N（μ，σ²），Y～N（μ，σ²），即X与Y具有相同的正态分布；
二维正态分布中，ρ为相关系数，实际上有如下性质：
对于二维正态分布，ρ=0?X与Y相互独立?X与Y不相关．
故答案选：A．