高数，请问这道题怎么证明？怎么找原函数啊？

Answer 1

既然要求用微分中值定理，就根据它来做。微分中值定理说的闭域连续开域可导的函数在两边界点的割线的斜率等于两点间的某点的切线的斜率。所以取 x = 0, x = x 两边界点有，
(e^x - e^0)/(x-0）= e^c, 0 < c < x
e^x - 1 = e^c (x)
因为e^x是单调增函数，
xe^0 = x < e^x - 1 < xe^x
QED

Answer 2