求∫ x-2/(x^2+2x+3)^2dx?

Question

求大神解答。

Answer 1

原式== -(1/2)(1/(x^2+2x+3)) - (3√2/8) [ √2(x+1)/(x^2+2x+3) + arctan{(x+1)/2} ] + C，计算过程如下：

∫（x-2）/（x^2+2x+3）^2 dx

= (1/2) ∫ d(x^2+2x+3)/(x^2+2x+3)^2 - ∫3/(x^2+2x+3)^2 dx

= -(1/2)(1/(x^2+2x+3)) - ∫3/(x^2+2x+3)^2 dx。

因为x^2+2x+3

=(x+1)^2+2。

设x+1 = √2tana ，则dx=√2(seca)^2 da。

∫1/(x^2+2x+3)^2 dx

=∫ (1/[4(seca)^4] )√2(seca)^2 da

=(√2/4) ∫ (cosa)^2 da

= (√2/8) ∫ (cos2a+1) da

= (√2/8) [ sin2a/2 + a] + C'

=(√2/8) [ √2(x+1)/(x^2+2x+3) + arctan{(x+1)/2} ] + C'。（以上C'为常数）

则可以得到：

∫（x-2）/（x^2+2x+3）^2 dx

= -(1/2)(1/(x^2+2x+3)) - ∫3/(x^2+2x+3)^2 dx

= -(1/2)(1/(x^2+2x+3)) - (3√2/8) [ √2(x+1)/(x^2+2x+3) + arctan{(x+1)/2} ] + C（以上C为常数）

扩展资料：

不定积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

常用不定积分公式

1、∫kdx=kx+C。

2、∫x^ndx=[1/(n+1)]x^（n+1）+C。

3、∫a^xdx=a^x/lna+C。

4、∫sinxdx=-cosx+C。

5、∫cosxdx=sinx+C。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

∫（x-2）/（x²+2x+3）dx
=1/2*∫(2x+2-6)/（x²+2x+3）dx
=1/2*∫(2x+2)/（x²+2x+4）dx-3∫1/（x²+2x+1+2）dx
=1/2ln（x²+2x+4）+3/2∫1/[((x+1)/√2)²+1）dx
=1/2ln（x²+2x+4）+3/√2arctan((x+1)/√2)+C