高等数学极限+格点问题

Question

在欧式平面R^2中，点P（x,y）若满足X，Y属于Z，则称P为格点（或整点），记An为R^2中半径为n(n为正整数)的闭圆盘（包含边界圆周和该圆周内部）中格点的数目，试求：n趋于无穷时的An/（n^2）值
注：An中，n是下角标。。

关键：1、解释下什么叫欧式平面

2、An怎么求
3、当然结果也是很重要滴~
谢谢！！（回答得好还有奖励哦！）

Answer 1

1、欧式平面指的就是xoy平面，有时也记成R^2=R×R={（x，y）|x∈R，y∈R}

2、An没有一个统一的公式比如下列结果：（y表示半径为n的圆的格点数）

n =  1    y =     5

n =  2    y =    13

n =  3    y =    29

n =  4    y =    49

n =  5    y =    81

n =  6    y =   113

n =  7    y =   149

n =  8    y =   197

n =  9    y =   253

n =10    y =   317

n =11    y =   377

n =12    y =   441

n =13    y =   529

n =14    y =   613

n =15    y =   709

n =16    y =   797

n =17    y =   901

n =18    y =  1009

n =19    y =  1129

n =20    y =  1257

规律并不明显

3、其实也没必要求出An的通项公式

这种方法叫做蒙特卡洛方法：把一些整数点随机的洒在边长为2n的正方形区域内，根据几何概型，则整点（格点）落在圆内的概率约等于圆的面积占整个图形面积的比例。

所以

（2）中的数据也说明了这个规律。

n再取大一点，变成计算得到

y(100)=31417

y(1000)=3141549

y(10000)=314159053

【附录】

①蒙特卡洛方法：

http://baike.baidu.com/link?url=9FHBq0tqce6whiBUmYAS0wUpEh8UUO42bq5D93Ip6H2Xsk_23Yc1CEeWkgqjCL8v4XfcU272XYUFsQc5EtGHXq

②计算y（n）的程序（Matlab编写，可以很快翻译成其他语言）

function y=pai(n)

y=0;

for i=-n:n

    for j=-n:n

        if i*i+j*j<=n*n

            y=y+1;

        end

    end

end

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http://zhidao.baidu.com/prof/view/yq_whut

Answer 2

1、解释下什么叫欧式平面：
也就是欧式二维空间，就是我们通常的XOY平面。
2、An怎么求：
不妨设原心在原点，圆的方程为x^2+y^2《n^2

现在以x,y=±1,±2,...,±(n-1)作直线，在圆内的相交点就是格点。于是：

A1=4+1
A2=4+3^2
A3=4+5^2
...........
An=4+(2n-1)^2
limAn/（n^2）=lim[4+(2n-1)^2]/n^2=4