隐函数的二阶导数公式是什么

Answer 1

1. 设隐函数 \( F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 \)，我们要找到 \( y \) 对 \( x \) 的二阶导数。
2. 首先，我们求一阶导数，即 \( y \) 对 \( x \) 的导数，记为 \( dy/dx \)：
\[ dy/dx = -\frac{\partial F}{\partial x} / \frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{x}{y} \]
3. 现在，我们要计算 \( y \) 对 \( x \) 的二阶导数，即 \( d(dy/dx)/dx \)。
4. 由于 \( y = y(x) \)，我们可以将 \( dy/dx \) 代入二阶导数公式中：
\[ d(dy/dx)/dx = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) \]
5. 使用商规则求导：
\[ d(dy/dx)/dx = \frac{-y \cdot dy/dx - x \cdot (-1)}{y^2} \]
6. 将 \( dy/dx \) 的表达式代入上式：
\[ d(dy/dx)/dx = \frac{-y \cdot (-\frac{x}{y}) + x}{y^2} \]
7. 简化上式得到 \( y \) 对 \( x \) 的二阶导数：
\[ d(dy/dx)/dx = \frac{x + y \cdot (-\frac{x}{y})}{y^2} = \frac{x - x}{y^2} = 0 \]
因此，隐函数 \( F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 \) 的 \( y \) 对 \( x \) 的二阶导数为 \( 0 \)。