如何用一阶线性方程的解法来解此方程

Answer 1

楼上这位朋友答得十分正确，但是没有说明怎么来的，给出的公式考试时大概率也记不住。
我来说说怎么推吧，使用常数变易法。
dx/dy - x = y
先解dx/dy - x = 0，
dy=dx/x，两边积分，得x=Ce^y
令C(y)=C，把x=C(y)e^y代入原方程，有
C'(y)e^y+C(y)e^y - C(y)e^y =y，
很巧，消掉了C(y)e^y，变成了C'(y)e^y=y 即dC=ye^(-y)dy
分部积分，C(y)=-(y+1)e^(-y) +c，
所以x=C(y)e^y=-(y+1) + Ce^y，求导验算一下，正确了。
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好，我们总结一下套路：
对于一阶非齐次线性微分方程
dy/dx+P(x)y=Q(x)，先求对应的齐次方程dy/dx+P(x)y=0的解，dy/y=-P(x)dx
必然能得到y=Cf(x)的形式，因为C是任意的，所以令C(x)=C，常数变函数，把前面的C(x)视为某个数C(x0)，y=C(x0)f(x)仍满足上述等式，
把y=C(x)f(x)代回到原非齐次方程，得C'(x)f(x)+C(x)f'(x) +P(x)y=Q(x)，
因为dy/dx+P(x)y=0，P(x)y=-C(x0)f'(x)，因为x0是任意的，令x0=x，就有C'(x)f(x)=Q(x)，
就能解出C(x)，那么这时候，y=C(x)f(x)中的C(x)不再是常数，它是从后面的非齐次方程得来的，于是必然是原非齐次方程的解。
一句话概括：先化为dy/dx+P(x)y=Q(x)的形式，然后令Q(x)=0，解出来y=cu(x)，令前面的常数c=c(x)，变成函数，代回原方程，解出c(x)，最终方程的解就是y=c(x)u(x)

Answer 2

有线性解：
设y=kx+b，y'=k
原方程xy'+yy'=1
kx+(kx+b)k=1
kx+k²x+kb=1
k（1+k）x+kb=1
k=0,0=1，不行；
k=-1，-b=1，b=-1
y=-x-1是一个解。

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