求∫sinxlnxdx，不定积分的解

Question

如题。最好详细写出过程。谢谢。

Answer 1

这题用分部积分好了，首先把x^2lnx看整体

∫x^2sinxlnxdx=-∫x^2lnxdcosx=-(x^2cosxlnx-∫sinxdx^2lnx)=-x^2cosxlnx+∫sinx(2xlnx+x)dx=-x^2cosxlnx+∫2xcosxlnxdx+∫xcosxdx

剩下两个积分相对好求了，
∫xcosxdx只要继续前面的分部积分的步骤就可以求出来了∫xcosxdx=xsinx+cosx

∫2xcosxlnxdx先再继续分部积分一次得
2xsinxlnx-2∫sinxlnxdx+2cosx
然后用换元法求最后一个积分，令t=lnx
则
x=e^t
∫sinxlnxdx=2∫tcos(e^t)d(e^t)

然后请你自己算行么。。。我计算能力急速下降啊。。。

不过话说题目上的(d∫)是打错还是怎么样？如果题目真的是d∫x^2sinxlnxdx，那都不要求啊，直接得出答案是x^2sinxlnxdx，毕竟微分和积分是逆运算

Answer 2

用分部积分法
原式=-cosxInx+∫cosx/x dx
=-cosxInx+∫-sinxdx
=-cosxInx+cosx+C
=(1-Inx)cosx+C