问一道高数定积分题目 半径为r m的半球形水池中充满了水,问将水池中的水全部吸完需做多少功

Answer 1

以半球水池底部最低点为坐标原点建立坐标系,则取高度为h处的水层dh,此水层的半径r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2,设水密度为ρ,则水层质量=ρπr^2dh=ρπ(2Rh-h^2)dh,则将该水层抽出水池做的功dW=ρgπ(2Rh-h^2)(R-h)dh.将dW在0到R上积分,即可得总功,W=∫dW=∫ρgπ(2Rh-h^2)(R-h)dh=πρgR^4/4

漩涡是以顺时针还是逆时针旋转呢？为什么会这样呢？
关于这个问题，应该有不少人脱口而出：漩涡的方向与地球自转有关系，北半球的漩涡是逆时针旋转（以北极上空的视角俯视），南半球的漩涡是顺时针旋转（南极上空视角俯视）。

如果再问为什么会这样，答复就是：水流受地转偏向力影响。

这样的回答乍一看似乎很有道理，比如小编以前就是这个解释坚定的支持者。

印象还是非常深刻的，当时上初二才开设物理课，物理老师在头几节课上都是给我们讲一些生活中的物理现象，其中问到了一个问题：当我们将水池里的水排掉时，会发现在排水口出现了一个漩涡，那么漩涡的方向是由什么决定的呢？

当时我脱口而出：漩涡方向和地球自转方向相关，北半球逆时针转。

想起来那时候我有一个良好的习惯，就是每周都会去图书馆借书看（大概是从小学四年级开始的），这个知识点当时就是从科普书上看来的（不过后来知道了，科普书也不是全部都是对的），但这种每周借书的习惯，后来逐渐被去图书馆的电子阅览室所取代了一部分

言归正传，当时我回答完后，老师竟然认同了我的观点（并不是说老师水平不行，只能说关于这一点，老师可能也没多想，就照着一些书的说法来讲了，毕竟当时我也在物理习题册上遇到过这类说法）

而当我意识到水涡的旋转方向与地球自转无关时，已经是到了中学毕业的时候了，我无意中在网上翻到了一个视频，是的一档科普节目，做了很多对比实验，最后结论是：水涡的旋转方向与水流的初始角动量以及水池的构造有关，如果将水静置很长时间，那么就不会有明显的漩涡出现。

Answer 2

建立坐标圆心为坐标原点 x轴铅直向下 y向右
则y=√(r^2-x^2),0<=x<=r
取微段[x,x+dx]微段分析
微段水重dG=ρg*dV=ρg*πy^2dx=ρg*π(r^2-x^2)dx
吸出此微段水需要做功dW=x*ρg*π(r^2-x^2)dx
总功为 W=∫(0~r)x*ρg*π(r^2-x^2)dx=1/4πρgr^4

舒展流淌，律动的音符，萦绕于耳边，丝丝缕缕，似暖阳呢语又如清风摇曳，每一份感情都不是一路平坦的，也有风雨也有荆棘，也有伤害也有泪滴，因为彼此真正的在意，才有不经意的自私，因为彼此害怕着失去，才有原谅后的珍惜，真正的感情，不是不吵不闹而是吵闹后依然在一起，不是没有心痛，而是心痛后学会如何相处相依，心动只是一时的美丽，心懂才有一生的不离不弃，抚思漫游，看枯梗残叶，在风中茕茕孑立，曲卷消香，把落寞的景致，在几许青墨绿意里，敛了一池的风雅和禅意，宁静的轻柔的诗意的弥漫，欣赏这清幽婉怡的意境，就像看如莲的青字，落在柔软萱白的素笺上，所念所想落墨别有洞天。

赏青衣江岸边，迎风招展的雾松，犹如白发魔女，微风中飘飘欲仙，观西雪蓑，祈愿来年风调雨顺，如意吉祥的寓意，眺望雪域高原，珠穆朗玛峰白雪皑皑，风光无限，雅鲁藏布江把春夏秋的真诚一起化成最美好的祝愿，流淌到祖国的大江南北，捧一朵朵天山上的雪莲花，撷一颗颗南山的红豆，寄给有情人，作为纯洁爱情的定情物，采一片片含羞的红枫，赠一株株傲霜铿锵的菊花，祝福冬日温暖开心，幸福甜蜜，万事如意心想事成，沐浴灿烂的阳光，祝事业蒸蒸日上兴旺发达，袖手水岸，酝生古韵的诗意，伫立在残叶清冽的烟波中，执手相看，岁月花间遇见阳光，千万花事，都有别样的红，唯卓尔不凡的花，风干了缱绻，素心也会沉静尘世苍茫，风月浸霜，红尘烟雨红妆，独绽寒枝，残迹留香，几许沧桑，留一径傲骨欣慰心绪。

Answer 3

建立坐标圆心为坐标原点 x轴铅直向下 y向右
则y=√(r^2-x^2),0