数学导数问题
已知f(x)=x ³+3ax ²+bx+a²（a>1）在x=-1时有极值0
（1） 求常数a,b的值
（2）求f(x)的单调区间
（3）方程f(x)=c在区间（-4，0）上有三个不同的实根时实数c的范围
（1）
f(x)=x³ +3ax²+bx+a²（a>1）
的导数为f’(x)= 3x²+6ax+b;
∵在x=-1时有极值;
f’(-1)= 3(-1)²+6a(-1)+b= 3-6a+b=0①
又∵极值为0,
∴f(-1)=(-1)³ +3a(-1)²+b(-1)+a²=-1+3a-b+ a²= a²+3a-b-1②
综合①②可得
a²-3a+2=0
∵a>1
∴a=2
∴b=9
(2)
f’(x)= 3x²+12x+9=3(x+1)(x+3)
f’(x)=0得：x=-3或x=-1；
故单调区间为
(-∞,-3)单调增；
(-3,-1)单调减；
(-1，+∞)单调增；
（3）
f(x)=x³ +6x²+9x+4
∵方程f(x)=c在区间（-4，0）上有三个不同的实根；
单调区间为
(-∞,-3)单调增；
(-3,-1)单调减；
(-1，+∞)单调增；
∴f(x)=c的值应在两极值点的函数值之间；
即c< f(-3)且c>f(-1)
∵f(-3)=4,f(-1)=0
∴0<c<4
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