数列∑1/N^2 求和

从 N=1 加到 N=∞

最后答案含有 π
麻烦写出具体过程。光是一个答案没用啊。

方法一:
将sinx按泰勒级数展开:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y=0的根为π²,(2π)²,…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和=一次项系数的相反数
即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6
方法二:
复变函数的留数问题,令f(z)=1/z^2*cos(πz)/sin(πz).将此函数在以(-n-1/2,-n),(-n-1/2,n),(n+1/2,-n),(n+1/2,n)为顶点的矩形封闭路径上积分,通过各项相消,易知此积分为0.同时由留数定理,此积分=1/2πi*(-π/3+2/π*(1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2)),两边取极限得 π/3-2/π*∑1/N^2=0,所以∑1/N^2=π²/6
温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
第1个回答  2020-11-23

n^2 = n*(n+1)-n

= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n

即:

1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1

2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2

3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3

……………………

求和即:

1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)

= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2

因此有:

1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料

证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:

(1)证明当n取第一个值时命题成立;

(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

例:

求证:

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明:

当n=1时,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立,于是:

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有:

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证。

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第2个回答  2021-06-22

简单计算一下即可,答案如图所示

第3个回答  2021-07-30

n^2 = n*(n+1)-n

= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n

1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1

2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2

3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3

1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)

= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2

因此有:1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6

数列的函数理解:

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a,列表法;b,图像法;c,解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

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第4个回答  2017-06-25
这个就是zeta(2),答案是π^2 /6
正弦函数无穷乘积展开结合Taylor展开或者Fourier级数都可以证明

数列∑1\/N^2 求和
两边取极限得 π\/3-2\/π*∑1\/N^2=0,所以∑1\/N^2=π²\/6

1\/n^2 数列的无限项求和。 ∑1\/N^2 的无限项求和。
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∑1\/n^2=π^2\/6,求∑1\/(2n-1)^2
自然数的平方的倒数组成数列求和,应该等于所有奇项和,加上所有偶数项的和 而偶数项的和,就是 自然数的平方的倒数组成数列求和 的1\/4(提取一下1\/4就能证明)所以奇数项的和,就是 自然数的平方的倒数组成数列求和 的3\/4也就是π²\/8 当然,这么做的前提是上面提到这些级数都是收敛的。

数列通项为1\/n^2,求数列前n项和
这个数列前n项和没有具体代数表达式,除非引进行的函数,不过那样做没有多大意义.不过这个数列和的极限值是存在的,lim(1+1\/2^2+1\/3^2+...+1\/n^2)=π^2\/6

求通项为1\/n^2的数列的前n项和
这是不可求和数列,只可求范围 求范围如下 1\/n^2<1\/n(n-1)则Tn裂项求和(n>=2)Tn=1\/(n-1)-1\/n=1-1\/2+1\/2-……+1\/(n-1)-1\/n=1-1\/n<1 1\/n^2的前n项和是递增的,则最小为S1=a1=1 Tn求和是除去第一项的 要加1\/n^2的第一项1,所以1=<Sn<2 ...

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