已知函数f(x)＝x²-2(a+1)x+2alnx(a＞0) 1 当a＝1时 求曲线y＝f(x)在

Question

已知函数f(x)＝x²-2(a+1)x+2alnx(a＞0)
1 当a＝1时 求曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程
2 求f（x）的单调区间
3 若f(x)≤0在区间【1，e】上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1f(x)＝x²-2(a+1)x+2alnx(a＞0) a=1 f(x)＝x²-4x+2lnx f(1)=-3 切线水平 y=-3

f'(x)=2x-2(a+1)+2a/x(a＞0) f'(x)=2x-4+2/x f'(1)=0
2 f'(x)=2x-2(a+1)+2a/x(a＞0) 令 f'(x)>=0得
(x-a)(x-1)>=0,a>=1,x>=a或0<x<=1 单增(0,1][a,无穷)单减(1,a)
1>a＞0, 单增(0,a][1,无穷)单减(a,1)
3 a>=e,【1，e】最大值f(1)=-2a-1<0

e>a>=1,f(1)=-2a-1,f(e)=e^2-2e-(e-1)*2a<=0,a>=(e^2-2e)/(e-1)
1>a＞0, f(e)=e^2-2e-(e-1)*2a>0
a的取值范围 ((e^2-2e)/(e-1),无穷)