已知关于x的一元二次方程（m-2）x 2 -（m-1）x+m=0．（其中m为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k，

Question

已知关于x的一元二次方程（m-2）x 2 -（m-1）x+m=0．（其中m为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k=m时，求m的值；②若记 m(k+ 1 k )-2k+5 为y，求y与m的关系式；（2）当 1 4 ＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．

Answer 1

（1）∵k为（m-2）x 2 -（m-1）x+m=0的实数根， ∴（m-2）k 2 -（m-1）k+m=0．+ ①当k=m时， ∵k为非零实数根， ∴m≠0，方程两边都除以m，得（m-2）m-（m-1）+1=0． 整理，得m 2 -3m+2=0． 解得m 1 =1，m 2 =2． ∵（m-2）x 2 -（m-1）x+m=0是关于x的一元二次方程， ∴m≠2． ∴m=1． ②∵k为原方程的非零实数根， ∴将方程两边都除以k，得 (m-2)k-(m-1)+ m k =0 ． 整理，得 m(k+ 1 k )-2k=m-1 ． ∴ y=m(k+ 1 k )-2k+5=m+4 ． （2）解法一：△=[-（m-1）] 2 -4m（m-2）=-3m 2 +6m+1=-3m（m-2）+1． 当 1 4 ＜m＜2时，m＞0，m-2＜0． ∴-3m（m-2）＞0，-3m（m-2）+1＞1＞0，△＞0． ∴当 1 4 ＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根． 解法二：直接分析 1 4 ＜m＜2时，函数y=（m-2）x 2 -（m-1）x+m的图象， ∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x轴有两个不同交点． ∴当 1 4 ＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根． 解法三：△=[-（m-1）] 2 -4m（m-2）=-3m 2 +6m+1=-3（m-1） 2 +4． 结合△=-3（m-1） 2 +4关于m的图象可知，（如图） 当 1 4 ＜m≤1时， 37 16 ＜△≤4； 当1＜m＜2时，1＜△＜4． ∴当 1 4 ＜m＜2时，△＞0． ∴当 1 4 ＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．