线性代数题目，求矩阵的所有元素的代数余子式之和

Question

如图，求所有元素代数余子式之和。
我想通过它的逆矩阵来求伴随矩阵，但不知道怎么做求指点谢谢！

Answer 1

选D，k=1，|A|=n！

Answer 2

因为行列式的每个元素的代数余式子与该元素的值无关，按照行列式按行列展开的公式，第一行元素的代数余子式之和等于将第一行元素全部替换为1的行列式的值，同理，第二行元素的代数余子式之和等于将第二行元素全部替换为1的行列式的值，依次类推。可以看出，除第一行的替换依然是原行列式|A|=n!外，其他替换后的行列式由于有两行元素的值都为1，因此得到的新行列式都为零，因此结果为n!+0+0+...=n!。