设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（

Question

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．（I）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．

Answer 1

（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax²+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²．
（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即

1

4

（1+t+1）²≤1，解得：-4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x-（-t）]是函数y=f（x）向右平移（-t）个单位得到的，
显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，
∴当t=-4，-t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．
∴

1

4

（m+1-4）²≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max=9．

Answer 2

因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴-
b
2a
=-1，b=2a，
由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，
则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b=
1
2
，a=
1
4
，c=
1
4
，故f（x）=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
．
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
取x=1，有f（t+1）≤1，即
1
4
（t+1）2+
1
2
（t+1）+
1
4
≤1，解得-4≤t≤0，
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即
1
4
（t+m）2+
1
2
（t+m）+
1
4
≤m．
化简有：m2-2（1-t）m+（t2+2t+1）≤0，解得1-t-
-4t
≤m≤1-t+
-4t
，
故m≤1-t-
-4t
≤1-（-4）+
-4(-4)
=9
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，
恒有f（x-4）-x=
1
4
（x2-10x+9）=
1
4
（x-1）（x-9）≤0．
∴m的最大值为9．
∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-
b
2a
=-1b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0
∴a=
1
4
b=
1
2
c=
1
4

∴f（x）=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
…（5分）
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x
取x=1时，有f（t+1）≤1⇒
1
4
（t+1）2+
1
2
（t+1）+
1
4
≤1⇒-4≤t≤0
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有
f（t+m）≤m⇒
1
4
（t+m）2+
1
2
（t+m）+
1
4
≤m⇒m2-2（1-t）m+（t2+2t+1）≤0⇒1-t-
-4t
≤m≤1-t+
-4t
…（10分）
∴m≤1-t+
-4t
≤1-(-4)+
-4•(-4)
=9 …（15分）
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，恒有
f（x-4）-x=
1
4
（x2-10x+9）=
1
4
（x-1）（x-9）≤0
∴m的最大值为9． …（20分）
另∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-
b
2a
=-1b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0
∴a=
1
4
b=
1
2
c=
1
4

∴f（x）=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
=
1
4
（x+1）2 …（5分）
由f（x+t）=
1
4
（x+t+1）2≤x 在x∈[1，m]上恒成立
∴4[f（x+t）-x]=x2+2（t-1）x+（t+1）2≤0当x∈[1，m]时，恒成立
令 x=1有t2+4t≤0⇒-4≤t≤0
令x=m有t2+2（m+1）t+（m-1）2≤0当t∈[-4，0]时，恒有解 …（10分）
令t=-4得，m2-10m+9≤0⇒1≤m≤9 …（15分）
即当t=-4时，任取x∈[1，9]恒有
f（x-4）-x=
1
4
（x2-10x+9）=
1
4
（x-1）（x-9）≤0
∴mmax=9 …（20分）

Answer 3

（1） ∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立∴1≤f（1）≤1∴f（1）=1；
（2） ∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；∴- b／2a=-1，f（-1）=a-b+c=0又∵f（1）=a+b+c=1∴a= 1／ 4，b= 1／ 2，c= 1／ 4∴f(x)= 1／4(x+1)2；
（3） 设g（x）=f（x）-x= 1／ 4(x-1)2关于x=1对称 当x∈[-1，3]时，|f（x）-x|≤1∴0≤m≤3．