求微分方程y'=x[(y^2)+1]/[(x^2)+1]^2满足所给初始条件y(0)=0的特解

Answer 1

分离变量
dy/dx=[x(1+y^2)]/[(1+x^2)y]

把x，dx都挪到右边，y，dy挪到左边
ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)
两边积分
∫ydy/(1+y^2)=∫xdx/(1+x^2)

1/2∫d(1+y^2)/(1+y^2)=1/2∫d(1+x^2)/(1+x^2)
ln|1+y^2|=ln|1+x^2|+C'
e^ln(1+y^2)=e^[ln(1+x^2)+C']=e^C'[e^ln(1+x^2)] (能去绝对值因为1+x^2>0,1+y^2>0)
1+y^2=C(1+x^2)
代入x=0,y=1
1+1=C(1+0)
C=2
1+y^2=2(1+x^2)
y^2=2x^2+1
因为y(0)=1>0
所以开方
y=根号(2x^2+1) (舍去-根号(2x^2+1)<0)
所以
y=根号(2x^2+1)

追问

麻烦您再帮我解两道题，谢谢。
1、判定级数(∞∑n=1) [(-1)^n*x^(2n)/n]的敛散性。
2、计算积分∫∫e^(y/2*dxdy),其中D:由于y=x^2,y=2x所围成的区域。