星形线x=acos³t,y=asin³t,(0≤t≤2π)所围成图形的面积S=∫π/2→0 asi

Question

星形线x=acos³t,y=asin³t,(0≤t≤2π)所围成图形的面积S=∫π/2→0 asi星形线x=acos³t,y=asin³t,(0≤t≤2π)所围成图形的面积S=∫π/2→0 asin³t(acos³t)'dt。求过程。

Answer 1

面积是(3πa^2)/8。

星形线是关于x轴和y轴对称的，如图：x=a(cost)^3，y=a(sint)^3，

其中a>0，t从0变到π/2正好是它在第一象限部分的图像，所以：

S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8

扩展资料

1、星形线的直角坐标方程：x2/3+y2/3=a2/3

2、星形线的参数方程：x=a*(cost)3,y=a*(sint)3 （t为参数）

3、星形线所包围的面积为3πa2/8，周长为6a。

4、星形线与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体表面积为12πa2/5，体积为32πa3/105。

参考资料来源：百度百科--星形线 

Answer 2

由对称性,S＝4∫(0→a)ydx ＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3] ＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt ＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt ＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2] ＝(3πa^2)/8 很高兴能回答您的提问，您不用添加任何财富，...