习题精选Ⅰ|裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》

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裴礼文老师的《数学问题中的典型问题与方法》是数学分析的入门题集，但其体量过大，不宜通刷。在陆陆续续的学习中，笔者整理出这份习题选集。

本文撷取了其中个人感觉较好、观点较新的题目，部分习题进行整理拆分，部分习题给出适当的提示。

首先，我们聚焦在极限（Limit）这一部分。第1题，我们发现存在一个函数，在指定区间上每点取有限值，但其在该区间上的任何点的任意邻域均无界，通过黎曼函数的构造可找到答案。第2题，通过拟合法将给定函数拆解，可以证明结论的正确性。第3题，直接运用极限的性质来判断不存在性。第4题，给出否定的答案，并通过构造常数列的分段分析来说明。第5题，证明无界函数含有无穷大量子列和收敛子列，前者的存在易于找到，后者则需要通过找到一个有界子列来间接证明。第6题，给出了两个计算题，通过耐心计算或利用泰勒公式，可以找到答案。第7题，利用极限的性质，将给定表达式转换为更容易处理的形式。第8题，通过夹挤原则或直接计算，证明给定序列的极限存在并求出其值。第9题，直接应用L'Hospital法则解决问题。第10题，利用泰勒展开式求解。第11题，通过积分定义或放缩方法来解决。第12题，利用周期性函数的性质或夹挤原则解决问题。第13题，证明Vieta公式并给出其应用。第14题，通过应用O.Stolz公式来解决，第二部分是对第一部分的进一步分析。第15题，证明数列的性质，包含单调有界和利用Stolz公式进行估计。第16题，利用单调有界原理证明两数列收敛到同一值，该值通常称为算术几何平均数。第17题，探索奇偶子列分布规律，多种方法被提及。第18题，寻找不动点并围绕其解决问题。第19题，证明数列的极限存在，并通过举例说明最优估计。第20题，利用数列有界性证明聚点集合的性质。

接下来，我们讨论连续性（Continuity）部分。第1题，分析Riemann函数和Dirichlet函数在有理点和无理点处的性质。第2题，验证函数在实轴上的连续性。第3题，利用函数连续性质进行证明。第4题，证明一致连续性，包含必要性和充分性的论证。第5题，给出一致连续性的步长估计。第6题，通过转化函数来解决问题。

微分学（Differential calculus）方面，第1题，通过取趋于0的数列进行估计来证明结论。第2题，先求出导数的递归公式。第3题，构造函数并应用Rolle定理解决问题。第4题，利用Lagrange定理解决相关问题。第5题，使用辅助函数或Taylor展开解决。第6题，依次证明和采用反证法。第7题，证明在导数处处存在的情况下，函数没有第一类间断点且具有介值性。

积分学（Integral calculus）部分，第1题，通过分析不均匀划分的求和式来求极限。第2题，分两部分进行证明，利用不同方法控制积分的上下界。第3题，利用夹挤原则证明给定结论。第4题，将问题转化为积分和或应用夹挤原则+Darboux和。第5题，利用Riemann引理证明给定结论。第6题，通过分析积分来解决问题。第7题，直接应用多项式的性质和定积分线性性质。第8题，通过除法和Cauchy中值定理解决问题。第9题，应用Taylor公式解决问题。第10题，利用对称性展开函数。第11题，证明区间关系。第12题，利用不等式放缩来解决问题。第13题，通过恰当的换元来解决问题。第14题，通过分离性定理解决问题，考虑函数的支撑线。第15题，证明给定结论。第16题，通过分析函数的性质解决问题。第17题，讨论积分收敛性。

最后，我们总结了前四章的习题精选，并指出后续章节将包含更多级数、多元微分学的内容。后续计划发布更多习题精选系列，包括但不限于《习题精选Ⅱ|裴礼文》和《习题精选及探讨Ⅲ|基于裴礼文的笔记—傅里叶级数》。