用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的十位数,求有多少个是99的倍数

Answer 1

可以组成3265920个没有重复数字的十位数；其中有290880个是99的倍数。分析过程如下：

分别从最高位起依次一个一个地填数字：9×9×8×7×6×5×4×3×2=3265920个。

介绍三条经验定理：

定理1：一个数的各位数的和能被3、9整除，那么这个数就能被3、9整除；定理2：一个数，奇数位数字之和，减去偶数位数字之和，差的绝对值，若能被11整除，则这个数就能被11整除；定理3：一个数，既能被整数a整除，又能被整数b整除，则这个数一定能被a、b的乘积整除。

0+1+2……+9=45，45能被9整除，所以这个十位数永远能被9整除。

问题转化为：求多少个是11的倍数。

设满足条件的十位数为abcdefghij；则：

(a+c+e+g+i)-(b+d+f+h+j)

=(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)-2(b+d+f+h+j)=45-2(b+d+f+h+j)；

2(b+d+f+h+j)=34；

b+d+f+h+j=17(其它情形可排除)；

故只要满足偶数位的和为17，或奇数位的和为17，且没有重复数字的十位数，就能被11整除。

五个数的和为17的情形：

01259,01268,01349,01358,01367,

01457,02348,02357,02456,12347,

12356共计11种组合；其中有0的组合9种；

奇数位和为17：11×5!×5!=158400个；偶数位和为17：9×4×4!×5!+2×5!×5!=132480个；合计：158400+132480=290880.

Answer 2

0+1+2+……+9=45，是9的倍数，
所以用0到9这10个数字组成的没有重复数字的十位数能被9整除。
用0到9这10个数字组成的没有重复数字的十位数能被11整除，
等价于奇数位的数字和S1--偶数位数字和S2=11n，n为整数，
S1+S2=45,
所以S1=(11n+45)/2,于是n=土1，S1=28或17.
17=0+1+2+5+9=0+1+2+6+8
=0+1+3+5+8=0+1+3+6+7
=0+1+4+5+7=0+2+3+4+8
=0+2+3+5+7=0+2+4+5+6
=1+2+3+4+7=1+2+3+5+6,
用0,1,2,5,9；及3,4,6,7,8分别做奇数位、偶数位数字的十位数的个数
=4P(4,4)*P(5,5)+P(5,5)*P(5,5)
=4*24*120+120*120
=25920,
仿上，其余9组同样组成25920个能被11整除的十位数。
所以用0到9这10个数字组成的没有重复数字的能被11整除的十位数共有259200个。
9与11互质，
所以能被9与11整除的数也能被99整除，
所以用0到9这10个数字组成的没有重复数字的能被99整除的十位数共有259200个.