高等数学 多元函数求极值

Answer 1

该极限不存在。
因 x^2y^2 = (xy)^2 ≤ [(1/2)(x^2+y^2)]^2 = (1/4)(x^2+y^2)^2,
则 lim<x→0, y→0> [1-cos(x^2+y^2)]/[(x^2+y^2)x^2y^2]
≥ lim<x→0, y→0> 4[1-cos(x^2+y^2)]/(x^2+y^2)^3
= lim<x→0, y→0> 2(x^2+y^2)^2/(x^2+y^2)^3
= lim<x→0, y→0> 2/(x^2+y^2) = +∞

Answer 2

=sin(x^2+y^2)/[(x^2+y^2)x^2*y^2]=(x^2+y^2)/[(x^2+y^2)x^2*y^2]=1/(x^2*y^2)

Answer 3

1、极值的定义设函数z=f(x,y)在点（x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内不同于（x0,y0)的任意点(x,y)，总有f(x,y)<f（x0,y0)(或f(x,y)>f（x0,y0)),则称f（x0,y0)为函数f(x,y）的一个极大值（或极小值），点（x0,y0)称为极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
2、极值的条件(1)必要条件
设函数f(x,y）在点（x0,y0)处的两个偏导数fx（x0,y0),fy（x0,y0)存在，且在点（x0,y0)处取得极值，则fx（x0,y0)=0,fy（x0,y0)=0。（2）充分条件设函数z=f(x,y）在点（x0,y0)的某邻域内有连续的一阶和二阶偏导数，（x0,y0)为函数的驻点，令A=fxx（x0,y0)，B=fxy（x0,y0),C=fyy（x0,y0),Δ=B2-AC,
(i)若Δ<0,则点（x0,y0)是z=f(x,y)的极值点，且当A<0时，点（x0,y0)为极大值点，当A>0时，点（x0,y0)为极小值点。
(ii)若Δ>0,则点（x0,y0)不是z=f(x,y)的极值点。(iii)若Δ=0，（x0,y0)可能是z=f(x,y)的极值点，也可能不是z=f(x,y)的极值点。
3、3函数的最大值与最小值在实际问题中，根据问题的实际意义，可以判断函数z=f(x,y)在区域D上存在最大值或最小值，且一定在区域D的内部取得，而区域D内仅有一个驻点，则函数必在该驻点处取得最大值或最小值。具体可见http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5NzE5MTAwOA==&mid=205267982&idx=4&sn=2027a47e4c6ba56ddf274e80001e30c3&3rd=MzA3MDU4NTYzMw==&scene=6#rd