线性代数 大神求教 过程什么的都写出来 谢谢

Answer 1

（1）有唯一解时，系数矩阵行列式|A|≠0
也即（λ-2）（2λ+1）≠0
解得λ≠2且λ≠-1/2

（2）无解，系数增广矩阵A|b的秩 与A的秩不相等，
1 λ-1 -2 1
0 λ-2 λ+1 3
0 0 2λ+1 5
第1行乘以-3，-5,分别加到第2、3行，得到
1 λ-1 -2 1
-3 -2λ+1 λ+7 0
-5 -5(λ-1) 2λ+11 0
第2行乘以-5/3，加到第3行，得到
1 λ-1 -2 1
-3 -2λ+1 λ+7 0
0 -5(λ-2)/3 (λ-2)/3 0

显然当λ-2=0时，上述矩阵秩r(A|b)=2，而r(A)=2
因此这种情况不属于无解的情况，
当λ-2≠0时，显然上述矩阵秩等于3，而A的秩显然大于或等于2
因此，只能是A的秩等于2时，出现无解
也即2λ+1=0，即λ=-1/2

（3）
系数矩阵行列式|A|=0，且A与A|b的秩相等，
也即（λ-2）（2λ+1）=0，且r(A|b)=r(A)=2
解得λ=2或-1/2（舍去，因为此时两矩阵的秩不相等）

Answer 2

系数矩阵行列式 |A| = (λ-2)(2λ+1),
当 λ ≠ 2 且 λ ≠ -1/2 时， |A| ≠ 0，
方程组有唯一解。
当 λ = -1/2 时， 增广矩阵 (A, b) =
[1 -3/2 -2 1]
[0 -5/2 1/2 3]
[0 0 0 5]
r(A, b) = 3, r(A) = 2 , 二者不等, 方程组无解.
当 λ = 2 时， 增广矩阵 (A, b) =
[1 1 -2 1]
[0 0 3 3]
[0 0 5 5]
初等行变换为
[1 1 0 3]
[0 0 1 1]
[0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3
方程组有无穷多解. 方程组同解变形为
x1 = 3 -x2
x3 = 1
取 x2 = 0, 得特解 (3 0 1)^T
导出组即对应的齐次方程是
x1 = -x2
x3 = 0
取 x2 = -1, 得基础解系 (1 -1 0)^T
则 λ = 2 时方程组的通解是
x = (3 0 1)^T+k (1 -1 0)^T.
其中 k 为任意常数。