平方和公式的证明方法

Answer 1

证法一　（归纳猜想法）：
1、 时，
2、 时，
3、设 时，公式成立，即
则当 时，






也满足公式。
根据数学归纳法，对一切自然数n有 成立。
证法二　(利用恒等式 )：
，

…………

.
把这n个等式两端分别相加，得：
,
由于 ,
代入上式得：

整理后得：


证法三：
求和：
解：
=
=
因为
所以，


证法四　（排列组合法）：
由于 ，
因此我们有 　　=
根据习题1，我们有 ， ，
于是我们有
证法五（拆分，直接推导法）：
1=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
...
(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+...+[2n-1]
上述等式左右相加如下：
求和推到式子1：



因为前n项平方和比前n-1项平方和差为n²

带入求和推到式子1，得等式如下：


得证。