设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥13；（Ⅱ...
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明： （Ⅰ）a2+b2+c2≥13； （Ⅱ）a+b+c≤3．
三式相加得：ab+bc+ca≤a2+b2+c2，
∴2ab+2bc+2ca≤2a2+2b2+2c2，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），
∴（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2），
∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴（a2+b2+c2）≥1，
∴a2+b2+c2≥13（当且仅当a=b=c=13时取“=”）
（Ⅱ）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴(a+b+c)2
=a+b+c+2ab+2bc+2ac
=1+2ab+2bc+2ac
≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]
=1+2（a+b+c）
=1+2=3，
∴a+b+c≤3．
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)a2+b2+c2≥13;(Ⅱ...
三式相加得：ab+bc+ca≤a2+b2+c2，∴2ab+2bc+2ca≤2a2+2b2+2c2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），∴（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2），∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，∴（a2+b2+c2）≥1，∴a2+b2+c2≥13（当且仅当a=b=c=13时取“=”）（Ⅱ）∵a，b，c均为...
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(Ⅰ)ab+bc+ac ;(Ⅱ
解析 （Ⅰ）由 ， ， 得： ，由题设得 ，即 ，所以 ，即 .（Ⅱ）因为 ， ， ，所以 ，即 ，所以 .本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练...
...设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(Ⅰ)ab+bc+ca≤13(Ⅱ)a2b+b2c+c...
解答：证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤13．（Ⅱ）因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+b+c...
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明(Ⅰ)ab+bc+ca≥1\/3(Ⅱ)a∧2\/b+b∧...
根据均值不等式有：a∧2\/b+b≥2a b∧2\/c+c≥2b c∧2\/a+a≥2c 三式相加得 a∧2\/b+b∧2\/c+c∧2\/a≥a+b+c=1
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:ab+bc+ca≤13
证明：∵a，b，c均为正数，∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，以上三式累加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；①又a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），∴ab+bc+ca≤13（当且仅当a=b=c=13时取“=”...
(1)已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥13;(2)...
≥13（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）=13（a+b+c）2=13．（2）法一 由左式推证右式 ∵abc=1，且a，b，c为互不相等的正数，∴1a+1b+1c=bc+ac+ab=bc+ac2+ac+ab2+ab+bc2 ＞√bc•ac+√ac•ab+√ab•bc（基本不等式）=√c+√a+√b．∴1a+1b+1c＞√a+√...
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明a2a+b+b2b+c+c2c+a≥12
证明：∵a+b+c=1，∴a2a+b+b2b+c+c2c+a=12（a2a+b+b2b+c+c2c+a）（a+b+b+c+c+a）=12[a2+b2+c2+a2(b+c)a+b+a2(c+a)a+b+b2(a+b)b+c+b2(c+a)b+c+c2(a+b)c+a+c2(b+c)c+a]≥12（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）=12（a+b+c）2=12．当且仅当a=b=c时，...
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca≤ (2) .
（1）见解析； （2）见解析． (1)由 得 . 由题设得 ,即 . 所以3(ab+bc+ca)≤1,即 . (2)因为 +b≥2a, +c≥2b， +a≥2c,故 +(a+b+c)≥2(a+b+c),即 ≥a+b+c，所以 .
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证a^2+b^2+c^2>=1\/3
柯西不等式:(x1^2+x2^2+.+xn^2)(y1^2+y2^2+.+yn^2)>=(x1y1+x2y2+.+xnyn)^2 3(a^2+b^2+c^2)=(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=1 所以a^2+b^2+c^2>=1\/3
已知a,b,c是正数,且a+b+c=1,求证a2+b2+c2
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)≤3(a^2+b^2+c^2)=1所以a2+b2+c2大于等于三分之一 注意：a^2+b^2≥2ab
