设数列｛an｝的前n项和为Sn=2n²，｛bn｝为等比数列，且a1=b1,b2(a2-a1

Question

1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式 2）设cn=an/bn,求数列｛cn｝的前n项和T

Answer 1

解： (1)当n=1时，a1=S1=2*1^2=2； 当n>1时，Sn=2*n^2，S(n-1)=2*(n-1)^2=2*(n^2-2*n+1)=2n^2-4n+2 则an=Sn-S(n-1)=2n^2-(2n^2-4n+2)=4n-2. ∵a1=2=4*1-2，符合上式 ∴数列{an}的通向公式an=4n-2=2(2n-1). ∴a2=4*2-2=6 ∵b1=a1=2，b2(a2-a1)=b1 ∴b2=b1/(a2-a1)=2/(6-2)=1/2 ∵数列{bn}是等比数列 ∴公比q=b2/b1=(1/2)/2=1/4. ∴bn=b1*q^(n-1)=2*(1/4)^(n-1). (2)∵cn=an/bn=(2n-1)/(1/4)^(n-1)=(2n-1)*4^(n-1). ∴Tn=4^0+3*4^1+5*4^2+…+(2n-1)*4^(n-1) 4Tn= 4^1+3*4^2+…+(2n-3)*4^(n-1)+(2n-1)*4^n 两式相减，得： -3Tn=1+2*4^1+2*4^2+…+2*4^(n-1)-(2n-1)*4^n =1+2*4*[1-4^(n-1)]/(1-4)-(2n-1)*4^n =1+(8/3)[4^(n-1)-1]-(2n-1)*4^n =(8/3)*4^(n-1)-5/3-(2n-1)*4^n ∴Tn=(2n-1)*4^n/3-(8/9)*4^(n-1)+5/9.