已知函数fx=x^3-x^2+ax+b若函数fx在x=1处取得极值,且函数fx只有一个零点,求b

取值范围

解由函数fx=x^3-x^2+ax+b若函数fx在x=1处取得极值
知f'(1)=0
由f'(x)=3x^2-2x+a
即f‘(1)=3-2+a=0
解得a=-1
即f(x)=x^3-x^2-x+b
得f'(x)=3x^2-2x-1
令f’(x)=0
即(3x+1)(x-1)=0
解得x=1或x=-1/3
当x属于(负无穷大,-1/3)时,f'(x)>0
当x属于(-1/3,1)时,f'(x)<0
当x属于(1,正无穷大)时,f'(x)>0
知当x=(-1/3)时,函数y=f(x)有极大值f(-1/3)=(-1/3)^3-(-1/3)^2-(-1/3)+b=5/27+b
当x=1时,函数y=f(x)有极小值f(1)=(1)^3-(1)^2-(1)+b=b-1
做出函数f(x)的图像知
当f(-1/3)<0或f(1)>0时,函数fx只有一个零点
即5/27+b<0或b-1>0时,函数fx只有一个零点
即b<-5/27或b>1时,函数fx只有一个零点
温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
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也就是x=1与x=3时,导函数等于0,因此 f ' (1)=3+6a+b=0,且f ’ (3)=27+18a+b=0,联立两个方程组,解得a= -2,b=9。这个题的关键就是利用导函数的性质,也就是当导函数处处存在时,函数取极值,则导函数一定为0。然后代入导函数式子解得a和b。满意就采纳吧。

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