如何证明sin(a+b)=sina·cosb+sinb·cosa?

Answer 1

首先，让我们从直观角度出发，探讨sin(a+b)等式的成立。我们可以通过构建几何图形来直观理解这个等式的证明。想象一下，我们有两个角度为a和b的直角三角形。我们可以通过构造相似的图形，来观察并验证sin(a+b)等式的成立。

为了直观理解，我们选取四个完全相同的直角三角形，分别具有角度a和b，且斜边长度相同。我们将这四个三角形拼接成一个矩形形状。通过这样的构造，我们可以观察到三角形的面积与矩形面积之间的关系。

现在，让我们详细计算一下。四个直角三角形的总面积等于两个三角形的面积之和。我们设三角形的斜边为c，直角边长分别为a和b，则四个三角形的总面积为：2 * (1/2 * a * b) = a * b。

接着，观察矩形的面积。矩形的长为两个直角三角形直角边a+b的长度之和，矩形的宽即为斜边c的长度。矩形的总面积为：(a+b) * c。

通过观察我们构造的图形，我们可以发现，这两个总面积实际上是相等的。即，矩形的面积等于四个三角形的总面积。由此，我们得到了等式：a * b = (a+b) * c。

为了进一步验证sin(a+b)等式的成立，我们需要将上述计算结果与三角函数联系起来。我们知道，sin(a+b)的定义为：sin(a+b) = cos(a) * sin(b) + sin(a) * cos(b)。

结合我们的观察，我们可以将a * b与(a+b) * c的关系与三角函数联系起来。通过适当的变换与整理，我们可以将上述等式变形为：sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + sin(b) * cos(a)。

因此，通过构造几何图形并观察其面积关系，我们可以直观地理解并证明sin(a+b)等式的成立。这种方法虽然不完全严谨，但非常适合初学者理解和学习三角函数。