连续和可导的关系

Answer 1

连续和可导的关系，快来学习吧

Answer 2

关于函数的连续与可导：1、连续的函数不一定可导.2、可导的函数是连续的函数.3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.4、存在处处连续但处处不可导的函数. 左导数和右导数存在且“相等”,是函数在该点可导的充要条件函数连续是函数可导的必要不充分条件 关于函数的连续与是否有极限：一个函数连续必须有3个条件：1、在此处有定义2、在此区间内要有极限3、.该处极限值等于函数值 有极限不一定连续,但是连续一定有极限.函数有极限是函数连续的必要不充分条件.

追问

我的意思你可能没明白，我是说一个函数在一点上可导，可以推出它在这个点的邻域内连续吗？若能请给出证明，若不能请举个反例

Answer 3

郭敦荣回答：
如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在点x0处一定连续；
但是，函数y=f（x）在点x0处连续，在该处却不一定可导，就是说有不可导的情况存在。
如函数y=f（x）=|x|，x≥0时，y=f（x）=|x|= x；x＜0时，y=f（x）=|x|=－x，
在点x=0处连续，但在点x=0处导数不存在。

追问

我的意思你可能没明白，我是说一个函数在一点上可导，可以推出它在这个点的邻域内连续吗？若能请给出证明，若不能请举个反例

追答

在我的原回答中首先给出的“如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在点x0处一定连续”是一条定理，就直接回答了你追问的“一个函数在一点上可导，可以推出它在这个点的邻域内连续吗？”的问题，回答是肯定的，只是没给出证明而已。现证明如下：
因为函数y=f（x）在点x0处可导，所以有
Δx→0 lim（Δy/Δx）= f（x0）,
又 Δy=（Δy/Δx）•Δx.
故 Δx→0 limΔy=[Δx→0 lim（Δy/Δx）•Δx]
=[Δx→0 lim（Δy/Δx）] • [Δx→0 limΔx]= f′（x0）•0=0.
这就证明了函数y=f（x）在点x0处连续,也就是在这个点的邻域内连续。
注意，Δx→0的Δx是在点x0处的邻域内的。

Answer 4

连续不一定可导，可导一定连续

追问

我的意思你可能没明白，我是说一个函数在一点上可导，可以推出它在这个点的邻域内连续吗？若能请给出证明，若不能请举个反例

Answer 5