线性代数题三道～求大神解释！˃̣̣̥᷄⌓˂̣̣̥᷅

Answer 1

1、A到B是交换1,4列和2,3列，故必须连续右乘两个初等矩阵，
即 B=AP2P1
所以 B^-1=P1^-1P2^-1A^-1
由于 P1^-1=P1,P2^-1=P2
所以 B^-1=P1P2A^-1
选3）
3、选1）因为当r=m时，非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为R(A)=r=m
此时增广矩阵(A,b)由于只有m行，故必有R(A,B)=R(A)=r=m
方程组AX=b的系数矩阵的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，故方程组一定有解。
5、因为实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数，而幂零矩阵的特征值都为0
所以R(A)=0
选2）

追问

非常感谢您的耐心解答，但我还有一些疑问，希望您可以帮忙解答

第一小题里可以先乘P1再乘P2吗？
还有就是 B=AP2P1
B^-1=P1^-1P2^-1A^-1
P1P2为什么要提前呢？

第二小题
是不是所有线性方程AX=B，若方程个数为m，则R（A，B）<=m呢？
如果2）4）选项加个前提m=n是不是就可以成立呢？

追答

第一小题里可以先乘P1再乘P2，但选项里没有对应的答案；

第二小题
是所有线性方程AX=B，若方程个数为m，则R（A，B）<=m
如果2）选项加个前提m=n，结论成立；

但4）选项加个前提m=n，结论不一定成立。因为此时方程组还可能无解。