平面向量和三角形四心(重心，垂心，外心，内心)的关系及证明。

Answer 1

重心中线交点，垂心高的交点，外心中垂线交点，内心角平分线交点。

1、若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

2、若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

3、若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4、若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5、AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6、AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7、AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8、若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

扩展资料：

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

证明

三角形的三条角平分线必交于一点

己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC

求证：OC平分∠ACB

证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F

∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF

∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB

性质

1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

3、r=2S/(a+b+c)

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

5、∠BOC = 90 °+∠A/2， ∠BOA = 90 °+∠C/2， ∠AOC = 90 °+∠B/2

6、S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

参考资料来源：百度百科-三角形的四心