亚里士多德的三段论具体到底指什么？能不能举一个例子说明。

Question

如题。请举一个具体的例子说明。

Answer 1

亚里士多德在逻辑学上最重要的工作就是三段论的学说。一个三段论就是一个包括
有大前提、小前提和结论三个部分的论证。三段论有许多不同的种类，其中每一种经院
学者都给起了一个名字。最为人所熟知的就是称为“Barbara”①的那一种：
凡人都有死（大前提）。
苏格拉底是人（小前提）。
所以：苏格拉底有死（结论）。
或者：凡人都有死。
所有的希腊人都是人。
所以：所有的希腊人都有死。
（亚里士多德并没有区别上述的这两种形式，我们下面就可以看到这是一个错误。）
其他的形式是：没有一条鱼是有理性的，所有的沙鱼都是鱼，所以没有一条沙鱼是有理
性的。（这就叫做“celarent”②）
凡人都有理性，有些动物是人，所以有些动物是有理性的。（这就是叫做Darii”③）
没有一个希腊人是黑色的，有些人是希腊人，所以有些人不是黑色的。（这就叫做
“�Eerio”①）
这四种就构成“第一格”；亚里士多德又增加了第二格和第三格，经院学者又增加
上了第四格。已经证明了后三格可以用各种办法都归结为第一格。
从一个单一的前提里可以做出几种推论来。从“有些人有死”，我们可以推论说
“有些有死的是人”。按照亚里士多德的说法，这也可以从“凡人都有死”里面推论出
来。从：“没有一个神有死”，我们可以推论说“没有一个有死的是神”，但是从“有
些人不是希腊人”并不能得出来“有些希腊人不是人”。
除上述的这些推论而外，亚里士多德和他的后继者们又认为，一切演绎的推论如果
加以严格地叙述便都是三段论式的。把所有各种有效的三段论都摆出来，并且把提出来
的任何论证都化为三段论的形式，这样就应该可能避免一切的谬误了。
这一体系乃是形式逻辑的开端，并且就此而论则它既是重要的而又是值得赞美的。
但是作为形式逻辑的结局而不是作为形式逻辑的开端来考虑，它就要受到三种批评了：
（1）这一体系本身之内的形式的缺点。
（2）比起演绎论证的其他形式来，对于三段论式估价过高。
（3）对于演绎法之作为一种论证的形式估价过高。
关于这三种批评的每一种，我们都必须说几句话。
（1）形式的缺点让我们从下列的两个陈述开始：“苏格拉底是人”和“所有的希腊
人都是人”。我们有必要在这两者之间做出严格的区别来，这是亚里士多德的逻辑所不
曾做到的。“所有的希腊人都是人”这一陈述通常被理解为蕴涵着：有希腊人存在；若
没有这一蕴涵则某些亚里士多德的三段论式就要无效了。例如：“所有的希腊人都是人，
所有的希腊人都是白色的，所以有些人是白色的”。如果有希腊人存在，而不是不存在；
则这个三段论便是有效的。但假如我要说：“所有的金山都是山，所有的金山都是金的，
所以有些山是金的”，我的结论就会是错误的了，尽管在某种意义上我的前提可以说都
是真的。所以如果我们要说得明白我们就必须把“所有的希腊人都是人”这一陈述分为
两个，一个是说“有希腊人存在”，另一个是说“如果有任何东西是一个希腊人，那么
它就是一个人”。后一陈述纯粹是假设的，它并不蕴涵着有希腊人的存在。这样，“所
有的希腊人都是人”这一陈述就比“苏格拉底是人”这一陈述，在形式上更为复杂得多。
“苏格拉底是人”以“苏格拉底”作为它的主词，但是“所有的希腊人是人”并不以
“所有的希腊人”作为它的主词；因为无论是在“有希腊人存在”这一陈述里，还是在
“如果有任何东西是一个希腊人，那么它就是一个人”这一陈述里，都并没有任何有关
“所有的希腊人”的东西。
这种纯形式的错误，是形而上学与认识论中许多错误的一个根源。让我们考察一下，
我们关于下列两个命题的知识的情形：“苏格拉底有死”和“凡人都有死”。为了要知
道“苏格拉底有死”的真实性，我们大多数人都满足于依靠见证；但是如果见证是可靠
的，则它就必然要把我们引回到某一个认得苏格拉底、并亲眼看到他死亡的人那儿去。
这个被人目睹的事实——苏格拉底的尸体——再加上这就叫作“苏格拉底”的那种知识，
便足以向我们保证苏格拉底的死。但是当谈到“所有的人都有死”的时候，情形就不同
了。我们有关这类普遍命题的知识的问题，是一个非常困难的问题。有时候它们仅仅是
文辞上的：“所有的希腊人都是人”之为我们所知，乃是因为并没有任何东西可以称为
“一个希腊人”，除非那个东西是一个人。这类的普遍陈述可以从字典里得到肯定；但
它们除了告诉我们怎样用字而外，并没有告诉我们有关世界的任何东西。但是“所有的
人都有死”却并不属于这一类；一个不死的人在逻辑上并没有任何自相矛盾之处。我们
根据归纳法而相信这个命题，是因为并没有可靠的证据说一个人能活到（比如说）150岁
以上；但是这只能使这个命题成为或然的，而并不能成为确切无疑的。只要当有活人存
在的时候，它就不可能是确切无疑的。
形而上学的错误出自于假设“所有的人”是“所有的人都有死”的主词，与“苏格
拉底”是“苏格拉底有死”的主词，这两者有着同一的意义。它使人可能认为在某种意
义上，“所有的人”所指的与“苏格拉底”所指的是同一类的一种整体。这就使得亚里
士多德说，种类在某种意义上也就是实质。亚里士多德很谨慎地在限定这一陈述，但是
他的弟子们，尤其是蒲尔斐利，却表现得没有这么细心。
由于这一错误亚里士多德便陷入了另一种错误，他以为一个谓语的谓语可以成为原
来主词的谓语。假设我说“苏格拉底是希腊人，所有的希腊人都是人”；亚里士多德便
以为“人”是“希腊人”的谓语，而“希腊人”又是“苏格拉底”的谓语，于是显然可
见“人”就是“苏格拉底”的谓语。但事实上，“人”并不是“希腊人”的谓语。名字
与谓语之间的区别，或者用形而上学的语言来说也就是个体与共相之间的区别，就这样
被他抹煞了，这给哲学带来了多灾多难的后果。所造成的混乱之一就是，设想只具有一
个成员的类也就等于那一个成员。这就使人对于一这个数目不可能有一种正确的理论，
并且造成了无穷无尽的有关于“一”的坏形而上学。
（2）对于三段论式估价过高三段论式仅仅是演绎论证中的一种。数学完全是演绎的，
但在数学里面三段论几乎从来也不曾出现过。当然我们有可能把数学论证重行写成三段
论的形式，但是那就会成为非常矫揉造作的了，而且也并不会使之更能令人信服。以算
学为例：假设我买了价值四元六角三分钱的东西，付出了一张五元的钞票，那么应该找
给我多少钱呢？把这样一个简单的数字写成三段论的形式便会是荒谬绝伦的了，而且还
会掩蔽了这一论证的真实性质。此外，在逻辑里面也有非三段论式的推论，例如：“马
是一种动物，所以马的头是一种动物的头”。事实上，有效的三段论仅只是有效的演绎
法的一部分，它对于其他的部分并没有逻辑的优先权。想赋予演绎法中的三段论以首要
地位的这种试图，就在有关数学推理的性质这个问题上把哲学家们引入了歧途。康德看
出了数学并不是三段论式的，便推论说数学使用了超逻辑的原则；然而他却认为超逻辑
的原则和逻辑的原则是同样确实可靠的。康德也象他的前人一样，由于尊崇亚里士多德
而被引入了歧途，尽管是在另一条不同的道路上。
（3）对于演绎法估计过高对于作为知识来源的演绎法，希腊人一般说来要比近代哲
学家赋给了它以更大的重要性。在这一方面，亚里士多德要比柏拉图错误得更少一些；
他一再承认归纳法的重要性，并且他也相当注意这个问题：我们是怎样知道演绎法所必
须据之以出发的最初前提的？可是他也和其他的希腊人一样，在他的认识论里给予了演
绎法以不适当的重要地位。我们可以同意（比如说）史密斯先生是有死的，并且我们可
以很粗疏地说，我们之知道这一点乃是因为我们知道所有的人都有死。但是我们实际所
知道的并不是“所有的人都有死”；我们所知道的倒不如说是象“所有生于一百五十年
之前的人都有死，并且几乎所有生于一百年之前的人也都有死”这样的东西。这就是我
们认为史密斯先生也要死的理由。但是这种论证乃是归纳法，而不是演绎法。归纳法不
象演绎法那样确切可信，它只提供了或然性而没有确切性；但是另一方面它却给了我们
以演绎法所不能给我们的新.知识。除了逻辑与纯粹数学而外，一切重要的推论全都是归
纳的而非演绎的；仅有的例外便是法律和神学，这两者的最初原则都得自于一种不许疑
问的条文，即法典或者圣书。除了探讨三段论式的《分析前篇》而外，亚里士多德另有
一些著作在哲学史上也有相当的重要性。其中之一就是《范畴篇》那个短期著作。新柏
拉图主义者蒲尔斐利给这部书写过一片注释，这片注释对于中世纪的哲学有很显著的影
响；但是目前还是让我们撇开蒲尔斐利而只限于谈亚里士多德。
“范畴”这个字——无论是在亚里士多德的著作里，还是在康德与黑格尔的著作里
——其确切涵意究竟指的是什么，我必须坦白承认我始终都不能理解。我自己并不相信
在哲学里面“范畴”这一名词是有用的，可以表示任何明确的观念。亚里士多德认为有
十种范畴：即，实体，数量，性质，关系，地点，时间，姿态，状况，活动，遭受。对
于“范畴”这一名词所提到的唯一定义就是：“每一个不是复合的用”——接着就是上
述的一串名单。这似乎是指凡是其意义并不是由别的字的意义所结合而成的每一个字，
都代表着一种实体或一种数量等等。但是并没有提到编排这十种范畴的名单所根据的是
一种什么原则。
“实体”首先就是既不能用以叙说主词而且也不出现于主词的东西。当一个事物尽
管不是主词的一部分，但没有主词就不能存在时，我们就说它是“出现于主词”。这里
所举的例子是出现于人心之中的一些文法知识，以及可以出现于物体的某一种白色。实
体，在上述的主要意义上，便是一个个体的物或人或动物。但是在次要的意义上，则一
个种或一个类——例如“人”或者“动物”——也可以叫作一个实体。这种次要的意义
似乎是站不住脚的，而且到了后代作家们的手里，更为许多坏的形而上学大开方便之门。
《分析后期》大体上是探讨一个曾使得每一种演绎的理论都感到棘手的问题，那就
是：最初的前提是怎样得到的？既然演绎法必须从某个地点出发，我们就必须从某种未
经证明的东西而开始，而这种东西又必须是以证明以外的其他方式而为我们所知的。我
不准备详细阐述亚里士多德的理论，因为它有赖于本质这个概念。他说，一个定义就是
对于一件事物的本质性质的陈述。本质这一概念是自从亚里士多德以后直迄近代的各家
哲学里的一个核心部分。但是我的意见则认为它是一种糊涂不堪的概念，然而它的历史
重要性却需要我们对它谈几句话。
一件事物的“本质”看来就是指“它的那样一些性质，这些性质一经变化就不能不
丧失事物自身的同一性”。苏格拉底可以有时候愉悦，有时候悲哀；有时候健康，有时
候生病。既然他可以变化这些性质而又不失颇为苏格拉底，所以这些就不属于他的本质。
但是苏格拉底是人则应该认为是苏格拉底的本质的东西，尽管一个信仰灵魂轮回的毕达
哥拉斯派不会承认这一点。事实上，“本质”的问题乃是一个如何用字的问题。我们在
不同的情况下对于多少有所不同的事件使用了同一的名字，我们把它们认为是一个单一
的“事物”或“人”的许多不同的表现。然而事实上，这只是口头上的方便。因而苏格
拉底的“本质”就是由这样一些性质所组成的，缺乏了这些性质我们就不会使用“苏格
拉底”这个名字。这个问题纯粹是个语言学的问题：一个字可以有本质，但是一件事物
则不能有本质。
“实体”的概念也象“本质”的概念一样，是把纯属语言学上方便的东西转移到形
而上学上面来了。我们在描述世界的时候发现把某一些事情描写为“苏格拉底”一生中
的事件，把某一些其他的事情描写为“史密斯先生”一生中的事件，是很方便的事。这
就使我们想到“苏格拉底”或者“史密斯先生”是指某种经历了若干年代而持久不变的
东西，并且在某种方式下要比对他所发生的那些事件更为“坚固”、更为“真实”。如
果苏格拉底有病，我们就想苏格拉底在别的时候是健康的，所以苏格拉底的存在与他的
疾病无关；可是另一方面，疾病也必需某个人有病。但是虽然苏格拉底并不必须有病，
然而却必须有着某种东西出现于他，假如他要被人认为是存在的话。所以他实际上并不
比对他所发生的那些事情更为“坚固”。“实体”若是认真加以考虑的话，实在是个不
可能避免种种困难的概念。实体被认为是某些性质的主体，而且又是某种与它自身的一
切性质都迥然不同的东西。但是当我们抽掉了这些性质而试图想象实体本身的时候，我
们就发现剩下来的便什么也没有了。再用另一种方式来说明这个问题：区别一种实体与
另一种实体的是什么呢？那并不是性质的不同，因为按照关于实体的那种逻辑来说，性
质的不同要先假定有关的两种实体之间有着数目的差异。所以两种实体必须刚好是二，
而其本身又不能以任何方式加以区别。那么，我们究竟怎样才能发现它们是二呢？
事实上，“实体”仅仅是把事件聚集成堆的一种方便的方式而已。我们关于史密斯
先生能知道什么呢？当我们看他的时候，我们就看到一套颜色；当我们听他说话的时候，
我们就听到一串声音。我们相信他也象我们一样地有思想和感情。但是离开了这些事件
而外，史密斯先生又是什么呢？那只是纯粹想象中的一个钩子罢了，各个事件就都被想
象为是挂在那上面的。但事实上它们并不需要有一个钩子，就象大地并不需要驮在一个
大象的背上一样。用地理区域做一个类比的话，任何人都能看出象（比如说）“法兰西”
这样一个字仅不过是语言学上的方便，在它的各个部分之外与之上并没有另一个东西是
叫做“法兰西”的。“史密斯先生”也是如此；它是一堆事件的一个集合名字。如果我
们把它当作是任何更多的东西，那么它就是指某种完全不可知的东西了，因此对于表现
我们所知道的东西来说就并不是必需的。
“实体”一言以蔽之，就是由于把由主词和谓语所构成的语句结构转用到世界结构
上面来，而形成的一种形而上学的错误。我的结论是：我们在这一章里所探讨过的亚里
士多德的学说乃是完全错误的，只有三段论式的形式理论是例外，而那又是无关重要的。
今天任何一个想学逻辑的人，假如要去念亚里士多德或者是他的哪一个弟子的话，那就
简直是在浪费时间了。可是，亚里士多德的逻辑著作还是表现了伟大的能力的，并且是
会对人类有用的，假如这些著作能在一个知识创造力仍然旺盛的时代里出世的话。然而
不幸的是，它们正是在希腊思想创造期的结束时才出世的，因而便被人当作是权威而接
受了下来。等到逻辑的创造性复兴起来的时候，两千年的统治地位已经使得亚里士多德
很难于推翻了。实际上在全部的近代史上，科学、逻辑与哲学每进一步都是冒着亚里士
多德弟子们的反对而争取来的。

Answer 2

亚里士多德的三段论的数学证明

内容提要:
在本文中我们在概念代数中证明了亚里士多德的三段论的原始表达式
((A ⊂ B) & (B ⊂ C)) → (A ⊂ C)
即 “如果 A是B 并且 B是C, 那末 A是C”.

1前言
逻辑三段论自公元前三世纪由亚里士多德发现以来, 一直作为人们的逻辑推理的基础. 有些学者看轻逻辑, 因为它无出处. 然而极大多数科学研究者十分重视这条逻辑三段论. 甚至推崇为数学研究的基础. 重视者是因为在实际研究中从三段论的逻辑推理中得到了合乎逻辑的结果, 推进了他们的研究工作. 怀疑者是因为这条逻辑定律的出处在什么地方. 所以重视还是轻视这条定律者各有其说.

我们首先来将亚里士多德的三段论<1>引入如下
如果 A是B 并且 B是C, 那末 A是C
在历史上有两种方法来表达三段论. 第一种称为 “谓词逻辑” 法, 即三段论中每一个命题由主词(subject) 和谓词(predicate) 所构成. 例如命题 “A是B”, “A” 是主词, “是B” 是谓词. 这种表达方法的弱点在于它将连接动词 “是” 与宾词 “B” 捆在一起, 这样就难于用数学表达式来表示一个命题. 第二种表达亚里士多德的三段论的方法为
((A → B) & (B → C)) → (A → C)
这种表达三段论的方法, 虽然是一种数学表达方法, 但是改变了亚里士多德的原意. 这个表达式的意思是 “如果A能推得B并且B能推得C, 那末A能推得C”. 这里用 “→” 来替代前提中的连接动词 “是”, 显然是有背原意. 虽然这是一个逻辑定律且类似于亚里士多德的三段论, 但是不是亚里士多德三段论的正确表达式. 在 “概念数学”<2> 一书的第三篇中我们讨论了 “逻辑代数”. 我们用 “逻辑代数” 中的运算符就能准确地用数学式子将亚里士多德三段论表达出来.
((A ⊂ B) & (B ⊂ C)) → (A ⊂ C)
这里运算符 “⊂” 是逻辑代数中复合运算符, 可以解释成 “是”. 显然这是亚里士多德三段论的准确数学表达式. 这个表达式将在本文中给予证明.

2概念代数和逻辑代数

概念代数是逻辑思维的数学基础. 我们知道 “概念” 是人类的逻辑思维的最小单元. 例如众所周知的命题 “铁是金属”, “猴子是动物”, “老虎属于猫科动物” 等等. 在这些命题中 “铁”, “金属”, “猴子”, “动物”, “老虎” 和 “猫科” 都是概念. 这些概念用连接动词 “是”, “属于” 等连接起来就形成了命题. 以逻辑定律为基础的逻辑推理是逻辑思维的一种方法. 例如 由 “金丝猴是猴子” 以及 “猴子是动物” 两个命题我们可以得到 “金丝猴是动物” 的结论. 这是应用三段定逻辑定律而得到的合乎逻辑的结果. 另外一种逻辑思维的方法是用概念计算的方法来求取命题的逻辑结论. 例如由命题 “老虎属于猫科动物” 通过计算可以得到如下新命题
猫科动物包括老虎
非猫科的动物不是老虎
与猫科动物无关的任意东西必定与老虎无关
如果猫科动物属于某一类, 那末老虎必属于此类
某一动物属于老虎, 那未这个动物必定属于猫科
这是连接概念之间的动词 “包括”, “不是”, “无关” 和 “属于” 都具有概念代数中的运算功能. 它们所对应的符号 “⊃”, “!⊂”, “↕” 和“⊂” 都是运算符号. 为了证明亚里士多德三段论, 必须引入逻辑代数.

为了人们在习惯上用词方便, 将概念代数中的基本运算符修改成适合逻辑运算符, 这样我们得到逻辑代数的定义如下
逻辑代数是具有结构{GL, |, -, &, →, @, #, ⊃, !⊃, ⊂,!⊂, ↕, !↕, ‘, υ}(其中运算符 |, →, &, -, @, #, ⊃, !⊃, ⊂,!⊂, ↕ 和 !↕ 是二元运算符, ‘是一元运算符, υ [ upsilon ] 是常量)且包含如下公理的一种代数
x | x’ = υ GL1
υ - x = x’ GL2
υ → x = x GL3
x → x = υ GL4
x - y = y’ - x’ GL5
x → y = y’ → x’ GL6
x → (y → z) = y → (x → z) GL7
(x | y) → z = (x → z) & (y → z) GL8
(x → y) & z = (z → x) → (y & z) GL9
(x → y) - z = (x | z) → (y - z) GL10
(x @ y) = ((x → y) & (y → x)) GL11
(x # y) = ((x - y) | (y - x)) GL12
(x ⊃ y) = ((x | y) @ x) GL13
(x ⊂ y) = ((x & y) @ x) GL14
x !⊃ y = (x | y) # x GL15
x !⊂ y = (x & y) # x GL16
x ↕ y = (x → y) # x GL17
x !↕ y = (x → y) @ x GL18

在本代数中有四个基本二元运算, 它们是逻辑加 “|”, 逻辑减 “-“, 逻辑乘(或解释为 “与”) “&” 和蕴涵(能从…推得…)”→”. 这些基本运算给出了概念之间的简单关系. 另外还有八个复合二元运算, 它们是等于”@”, 不等于”#”, 包含” ⊃”, 不包含”!⊃”, 被包含”⊂”, 不被包含”!⊂”, 以及独立”↕”和不独立”!↕”. 这些复合运算说明如下:
A @ B 可解释为 ”A是B”, “A等于B” 或 “A与B相同”
A # B 可解释为 “A不是B”, “A等于B的补” 或“A与B不同”
A ⊃ B 可解释为 “A包含B” 或 “A大于B” 或 “A有特性B”
A !⊃ B 可解释为 “A不包含B” 或 “A不大于B” 或 “A没有特性B”
A ⊂ B 可解释为 “A被B包含” 或 “A小于B” 或 “A是B中的特性”
A !⊂ B 可解释为 “A不被B包含” 或 “A不小于B” 或 “A不是B中的特性”
A ↕ B 可解释为 “A独立于B”, “A和B独立” 或 “A与B无关”
A !↕ B 可解释为 “A不独立于B” , “A和B不独立” 或 “A与B有关”
A’ ↕ B’ 可解释为 “A’独立于B’”, “A和B镜象独立” 或 “A’与B’无关”
A’ !↕ B’ 可解释为 “A’不独立于B’” , “A和B镜象不独立” 或 “A’与B’有关”

3亚里士多德三段论的证明

在证明亚里士多德三段论之前, 我们先证明如下一些辅助定理. 在定理20我们就证明了亚里士多德三段论.

定理 1
x’ → υ’ = x
证明
由公理GL3
υ → x = x
按照公理GL6, 得到
x’ → υ’ = x
定理证毕.

定理 2:
y & y’ = υ’
证明:
由公理GL8
(y | z) → x = (y → x) & (z → x)
用 y’ 替代 z, 得到
(y | y’) → x = (y → x) & (y’ → x)
按照公理GL1, 得到
υ → x = (y → x) & (y’ → x)
按照公理GL3, 得到
x = (y → x) & (y’ → x)
用 υ’ 替代 x, 得到
υ’ = (y → υ’) & (y’ → υ’)
按照定理 1, 得到
υ’ = (y → υ’) & y
用 y’ 替代 y, 得到
υ’ = (y’ → υ’) & y’
按照定理 1, 得到
υ’ = y & y’
定理证毕.

定理 3
(υ’ & z) = υ’
证明
由公理GL9
(y → x) & z = (z → y) → (x & z)
用 z 替代 y, 得到
(z → x) & z = (z → z) → (x & z)
按照公理GL4, 得到
(z → x) & z = υ → (x & z)
按照公理GL3, 得到
(z → x) & z = (x & z)
用 υ’ 替代 x, 得到
(z → υ’) & z = (υ’ & z)
用 z’ 替代 z, 得到
(z’ → υ’) & z’ = (υ’ & z’)
按照定理 1, 得到
z & z’ = (υ’ & z’)
按照定理 2, 得到
υ’ = (υ’ & z’)
定理证毕.

定理 4
(z & υ) = z
证明
由公理GL9
(y → x) & z = (z → y) → (x & z)
用 υ 替代 z, 得到
(y → x) & υ = (υ → y) → (x & υ)
按照公理GL3, 得到
(y → x) & υ = y → (x & υ)
用 υ’ 替代 x, 得到
(y → υ’) & υ = y → (υ’ & υ)
按照定理 2, 得到
(y → υ’) & υ = y → υ’
用 y’ 替代 y, 得到
(y’ → υ’) & υ = y’ → υ’
按照定理 1, 得到
y & υ = y
定理证毕.

定理 5:
x’’ = x
证明
由公理GL2
υ - x = x’
按照公理GL5, 得到
x’ - υ’ = x’
于是
x - υ’ = x 5.1
按照公理GL5, 得到
υ’’ - x’’ = x’
用 x 替代 x’, 得到
υ’’ - x’ = x
用 υ 替代 x, 得到
υ’’ - υ’ = υ
按照 5.1, 得到
υ’’ = υ 5.2
由公理GL3
υ → x = x
按照公理GL6, 得到
x’ → υ’ = x
按照公理GL6, 得到
υ’’ → x’’ = x
按照 5.2, 得到
υ → x’’ = x
按照公理GL3, 得到
x’’ = x
定理证毕.

定理 6
(x’ & y’)’ = x | y
证明
由公理GL8
(y | z) → x = (y → x) & (z → x)
用 υ’ 替代 x, 用 y’ 替代 y 和 z’ 替代 z, 得到
(y’ | z’) → υ’ = (y’ → υ’) & (z’ → υ’)
按照定理 1, 得到
(y’ | z’)’ = y & z
用 y’ 替代 y 和 z’ 替代 z, 和按照定理 5, 得到
y | z = (y’ & z’)’
定理证毕.

定理 7
x → υ’ = x’
证明
由定理 1
x’ → υ’ = x
用 x’ 替代 x, 得到
x’’ → υ’ = x’
按照定理 6, 得到
x → υ’ = x’
定理证毕.

定理 8
y’ & x = (x → y)’
证明:
由公理GL9
(y → x) & z = (z → y) → (x & z)
用 υ’ 替代 x, 得到
(y → υ’) & z = (z → y) → (υ’ & z)
按照定理 7, 得到
y’ & z = (z → y) → (υ’ & z)
按照定理 3, 得到
y’ & z = (z → y) → υ’
按照定理 7, 得到
y’ & z = (z → y)’
定理证毕.

定理 9:
x → y = x’ | y
证明
按照定理 8
y’ & x = (x → y)’
重写
(y’ & x)’ = x → y
按照定理 6, 得到
y | x’ = x → y
定理证毕.

定理 10
x | υ’ = x
证明
由定理 4
υ & z = z
等式两边取补, 得到
(υ & z)’ = z’
按照定理 6, 得到
υ’ | z’ = z’
重写. 定理证毕.

定理 11
x | (y | z) = (x | y) | z
证明
由公理GL7
z → (y → x) = y → (z → x)
按照定理 9, 得到
(x | y’) | z’ = (x | z’) | y’
重写
(x | y) | z = (x | z) | y
定理证毕.

定理A 12
(z | υ) = υ
证明
由定理 3
υ’ = υ’ & x
和定理 6
(x’ & y’)’ = x | y
得到
(z | υ) = υ
定理证毕.

定理 13:
y → (x | y) = υ
和
(x & y) → x = υ
证明:
y → (x | y)
= y’ | (x | y) 定理 9
= x | (y | y’) 定理 11
= x | υ 公理GL1
= υ 定理A 12
用公理GL6 和 定理 6, 我们能够得到
(x & y) → x = υ
由
y → (x | y) = υ
定理证毕.

定理14
x @ υ = x
证明:
按照公理 GL11:
(x @ y) = ((y → x) & (x → y))
用 υ 替代 y, 得到
(x @ υ) = ((υ → x) & (x → υ))
= (υ & x) 定理 10, 公理GL3
= x 定理 4
定理证毕.

定理15
(x | (y @ z)) = ((x | y) @ (x | z))
(x → (y @ z)) = ((x → y) @ (x → z))
证明:
(x | (y @ z)) = (x | (y’ & z’) | (y & z))
= (x | (x’ & (y’ & z’)) | (y & z))
= ((x | (y & z)) | ((x’ & y’) & (x’ & z’)))
= ((x | y) & (x | z)) | ((x | y)’ & (x | z)’)
= ((x | y) @ (x | z))
定理的第一部分证明成立. 由此如下定理的第二部分显然成立.
(x → (y @ z)) = ((x → y) @ (x → z))
定理证毕.

定理16
(x & (y @ x)) = (y & (y @ x))
证明:
(x & (y @ x)) = (x & ((y / x) & (x / y)))
= (x & y & ((y / x) & (x / y)))
= (y & ((y / x) & (x / y)))
= (y & (y @ x)_

定理17
(x & y) & (y @ x) = y & (y @ x)
证明:
(x & y) & (y @ x)
= (x & (y @ x)) & (y & (y @ x))
= (y & (y @ x)) & (y & (y @ x)) 定理16
= (y & (y @ x))
定理证毕.

定理18
((x | y) @ x) = (x | (y @ x))
证明:
由定理15
(x | (y @ z)) = ((x | y) @ (x | z))
用x替代z, 得
(x | (y @ x)) = ((x | y) @ (x | x))
= ((x | y) @ x)

定理19
(x ⊃ y) & (y ⊃ z) & (x ⊃ z) = (x ⊃ y) & (y ⊃ z)
证明:
(x ⊃ y) & (y ⊃ z) & (x ⊃ z)
= ((x | y) @ x) & ((y | z) @ y) & ((x | z) @ x) 公理GL13
= (x | (y @ x)) & (y | (z @ y)) & (x | (z @ x)) 定理18
= ((x & y) | (x & (z @ y)) | ((y @ x) & (z @ y))
= ((x & y) | ((x & y) & (y @ x)) | (x & (z @ y)) | ((y @ x) & (z @ y))
= ((x & y) | (y & (y @ x)) | (x & (z @ y)) | ((y @ x) & (z @ y)) 定理 17
= ((x & y) | (x & (z @ y)) | (y & (y @ x)) | ((y @ x) & (z @ y))
= (x & (y | (z @ y)) | ((y @ x) & (y | (z @ y))
= (x | (y @ x)) & (y | (z @ y))
= ((x | y) @ x) & ((y | z) @ y)
= (x ⊃ y) & (y ⊃ z)
定理证毕.

定理 20 (亚里士多德三段论)
((x ⊂ y) & (y ⊂ z)) → (x ⊂ z)
证明:
依照定理19, 得到
(x ⊂ y) & (y ⊂ z) = (x ⊂ y) & (y ⊂ z) & (x ⊂ z)
依照定理13 得到
((x ⊂ y) & (y ⊂ z) & (x ⊂ z)) → (x ⊂ z) = υ
替代之后得
((x ⊂ y) & (y ⊂ z)) → (x ⊂ z) = υ
依照定理14, 得到
((x ⊂ y) & (y ⊂ z)) → (x ⊂ z)
定理证毕.

4结论
在本文中我们在概念代数中证明了亚里士多德的三段论的原始表达式
((A ⊂ B) & (B ⊂ C)) → (A ⊂ C)
即 “如果 A是B 并且 B是C, 那末 A是C”.

参考文献
<1> W. Daniel “Aristotle’s two systems”
<2> “概念九童”

Answer 3

擧个例子：你的钱在你的钱包中，你的钱包在你的衣兜中，那麽，你的钱在你的衣兜中。