高数求极限题目x->0 lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x|

Question

极限题目x->0 lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x|
请问这题可以用函数极限的运算法则把lim[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)和 lim sinx/|x|分别求出来相加吗？如果可以的话lim[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)如何计算？ 不行的话是怎么解？

Answer 1

可以，有这样的公式
lim(a+b)=lima+limb
只需要分开后lima，limb均存在！！
对于本题
lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x|
=lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + limsinx/|x|

x趋向0+时，1/x趋向+无穷大
可知同时除以e^(1/x)
lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)}
=lim{[2/e^(1/x)+1]/(1/e^(1/x)+e^(3/x)}
因为e^(1/x)趋向无穷大，所以
分母1/e^(1/x)趋向0，e^(3/x)趋向无穷大
分子2/e^(1/x)趋向0
所以lim{[2/e^(1/x)+1]/(1/e^(1/x)+e^(3/x)}=0
而limsinx/|x|=limsinx/x=1
所以原式=1

当x趋向0-
lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)}
则1/x趋向-无穷大
因为e^(1/x)趋向0，所以
分母1/e^(1/x)趋向0，e^(4/x)趋向0

所以lim{[2/e^(1/x)+1]/(1/e^(1/x)+e^(3/x)}=2/1=2
而limsinx/|x|=-limsinx/x=-1
所以原式=2-1=1
综合得
lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x|
=1

Answer 2

不可以，这里要分 x->0- 和 x->0+ 讨论的
x->0- 时 lim sin x/|x| = -1, lim e^(1/x) = 0, 所以lim[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x) = [2 + 0]/[1 + 0] = 2,总的合起来lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x| = -1 + 2 = 1
x->0+ 时 lim sin x/|x| = 1, lim e^(1/x) = 正无穷, 但是lim e^(-1/x) = 0
所以lim[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)
% 两边同除以e^(4/x) %
= lim [2 * e^(-4/x) + e^(-3/x)]/(e^(-4/x) + 1)
= [0 + 0]/[0 + 1] = 0,
总的合起来lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x| = 1 + 0 = 1

x->0- 和 x->0+ 时极限都是1,所以x->0极限才是1

事实上，如果单看lim[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x) 或 lim sin x/|x|在x->0时都是不存在的，因为它们两个的左右极限不同，但是加起来之后它们的左右极限相同了，这才存在极限。

Answer 3

不可以，因为分开后，那两个极限都不存在,应分别求左右极限来做
x->0+ lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x|
=x->0+ lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/x
=x->0+ lim{[2e^(-4/x)+e^(-x/3)]/[e^(-4/x)+1] + sinx/x=0+1=1

x->0- lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)} + sinx/|x|
=x->0- lim{[2+e^(1/x)]/(1+e^(4/x)}- sinx/x=(2+0/1+0)-1=1

所以原式极限=1

Answer 4

可以 shawhom 说的是对的