[线性代数]秩与线性相关

Question

1，

(a1,a2,b1,b2,b3)=
1 3 2 1 3
0 2 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
R(A)=2=R(A,B)
B=(b1,b2,b3)中有不等于0的2阶子式，故R（B）>或=2
这句话是怎么来的？B中为什么有2阶子式？是哪个？，R（B）>或=2
是为什么？

2，m个n维向量组成的向量组是什么样的？
(a1 a2 a3....an)?m怎么体现？？
x1+x2+x3=0的基础解系a1=(1 0 -1 )T a2=(0 1 -1)T
我的计算是：
x1=-x2-x3
x2=c1
x3=c2
所以解为：
-c1-c2
+c1+0
+0+c2=

(-c1 c1 0)T+(-c2 0 c2)T=c1(-1 1 0)T+c2(-1 0 1)T
基础解系为a1=(-1 1 0)T和a2=(-1 0 1)T才对啊？哪里错了？

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A=
0 0 1
1 1 x
1 0 0 求X的值，使A可以对角化

入1=-1 入2=入3=1
对应单根入1=-1，可以求得线性无关的特征向量恰有1个。
矩阵A可对角化的充要条件是入2=入3=1，有2个线性无关
的特征向量，即方程有2个线性无关的解，系数矩阵A-E
的秩R（A-E）=1
*在取入1=-1时，其特征向量为（-x -1 1）T，
这么一个向量怎么得出它是线性无关的？和谁无关？
*在取入2=入3=1时，程有2个线性无关的解，是指得出的
通解之间线性无关？
*为什么方程有2个线性无关的解，系数矩阵A-E
的秩R（A-E）要等于1？？

Answer 1

书上有这样的一个推论：
A存在r阶主子式不为零，同时r+1阶主子式全为0，那么有R(A)=r。

至于主子式，只要其行列式不为零，随便选。例如本题
1 3 2 1 3
0 2 1 1 1
中，随便选那两列。组成的行列式都是不为零的。
所以至少有R（B）>或=2（＞是当3阶主子式不为0）

m个n维向量组成的向量组是什么样的？
(a1 a2 a3....an)?m怎么体现？？
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这个就不好说了，要看你的n维向量的列数。如果n维向量，每维为K列
则一共有km列了
但不影响行数。仍为n，维代表的是行数！

x1+x2+x3=0的基础解系a1=(1 0 -1 )T a2=(0 1 -1)T
我的计算是：
x1=-x2-x3
x2=c1
x3=c2
所以解为：
-c1-c2
+c1+0
+0+c2=

(-c1 c1 0)T+(-c2 0 c2)T=c1(-1 1 0)T+c2(-1 0 1)T
基础解系为a1=(-1 1 0)T和a2=(-1 0 1)T才对啊？哪里错了？
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a1=c1(-1 1 0)T和a2=c2(-1 0 1)T才对！！
呵呵。系数不能丢！
同时，你也知道c1,c2是不确定的，所以解向量的事实也可能是多种多样的，不一定答案是唯一的。

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在取入1=-1时，其特征向量为（-x -1 1）T，
这么一个向量怎么得出它是线性无关的？和谁无关？

和其他的特征值对应的特征向量，在本题中，就是和x=1对应的两个特征向量
不过，我需要告诉你的是：你根本不需要来判断（-x -1 1）T是否和x=1对应的两个特征向量是否线性无关。
有一个推论：
不同的特征值对应的特征向量肯定是线性无关的！所以
（-x -1 1）T和x=1对应的两个特征向量自然线性无关！！！

*在取入2=入3=1时，程有2个线性无关的解，是指得出的
通解之间线性无关？
是(A-E)x=0得出的两个解线性无关，也可以认为“通解中的两个解向量”之间线性无关。

*为什么方程有2个线性无关的解，系数矩阵A-E
的秩R（A-E）要等于1？？
有一个定理：
对于AX=0，如果R(A)=r，则一定有n-r个线性无关的解向量。
n为未知数个数，也可以认为是系数矩阵维数
对于本题。方程有2个线性无关的解。可知
R（A-E）=3-2=1（3为系数矩阵维数）

Answer 2

1、（1）根据2阶子式的定义，你在矩阵B=(b1,b2,b3)任意取两行两列，按照原来的顺序组成的行列式就是2阶子式。B是个5行三列的矩阵，可以取30个2阶子式。（2）再根据矩阵的秩的定义，至少有一个2阶子式不等于0，所以秩R（B）>或=2。

2、m个n维向量组成的向量组是一个m行n列矩阵，是这么一个类型
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2 ... amn

问题补充：你的答案没有错，基础解系不是唯一的。你的答案a1=(-1 1 0)T和a2=(-1 0 1)T选择以x2和x3作为自由变量，而基础解系a1=(1 0 -1 )T a2=(0 1 -1)T是选择以x1和x2作为自由变量，还有一种答案是选择x1和x3作为自由变量，基础解系是a1=(1 -1 0)T和a2=(0 -1 1)T.

Answer 3

1.首先楼主要知道——列向量中如果前n行不相关整体不相关，比如b1=(a,b,c,d，e),b2=(f,g,h,i,j).如果说（a,b),(f,g)不相关，那么b1,b2不相关。
题目中说B=(b1,b2,b3)中有不等于0的2阶子式，也就是说B中能找出一个两个彼此无关的（a,b),(f,g)，要是相关了， (a,b)
(f,g)的行列式值为零。
所以其对应的“两个B的”整列向量“假设就是b1,b2”必须是线性无关的，因为整体的秩大于部分的秩。所以B的秩应该大于2，对吧。

再说二阶子式，上边说了我再举一个例子
b1,b2,b3)=
2 1 3
1 1 1
0 0 0
0 0 0

2 1
1 1 就是一个二阶子式，还恰巧是行列式值不为零的那个，
0 0
0 0 就是一个零子式，因为行列式值为零。

2.m个n维向量。就是说首先有m个向量
其次，每个向量的长度是n，所以你举得例子不对，应该是
(a1 a2 a3....am)，对其中任意一个ai的长度为n，比如（1，2，3，，，n）T，就是把（1，2，3，，，n）竖过来写。
明白了吧，这样就把m，n都体现出来了。

楼主满意？