求一道初二数学题解。

Question

已知三角形ABC，D为BC的中点。E为AC上任意一点，BE交AD于点F，AE=EF。BF等于AC吗？为什么？

Answer 1

BF等于AC
延长AD到点G，使得：DG = DA 。
因为，DG = DA ，DB = DC ，
所以，ABGC是平行四边形；
可得：AC‖BG ，AC = BG 。
因为，AC‖BG ，
所以，∠BGF = ∠EAF 。
因为，AE = EF ，
所以，∠EAF = ∠EFA 。
因为，∠BGF = ∠EAF = ∠EFA = ∠BFG ，
所以，BF = BG = AC 。

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Answer 2

证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
∵BD=CD
∠BDG=∠CDA
DG=DA
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG=AC，∠CAD=∠G
又∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
又∠BFG=∠AFE
∴∠CAD=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF，
∴AC=BF．
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Answer 3

证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
∵BD=CD
∠BDG=∠CDA
DG=DA
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG=AC，∠CAD=∠G
又∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
又∠BFG=∠AFE
∴∠CAD=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF，
∴AC=BF．
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Answer 4

相等
设AE=EF=a
过点D作DG//BE,交AC于G
因为D是中点，所以BE = 2DG
因AE=EF,所以DG=AG，不妨假设DG=AG=b
EG=AG-AE=b-a，EC=2(b-a),AC=EC+AC = 2b-a
BE=2DG=2b,BF=2b-a