一道线性代数考研题,在线急求高手解答.最好把思路也告诉我，谢谢！

Question

题目:证明元素为0,1的三阶行列式之值只能是0,正负1,正负2。

Answer 1

用展开定理证明.
|A| = |(aij)|
= a11A11 + a12A12 + a13A13
= a11M11 - a12M12 + a13M13
对2阶行列式 M11,M12,M13, 其中的元素都也都是 0,1
易知 Mij 取值范围是 0, 1, -1
所以只需证明 |A| 不等于3和-3
也就是要排除 a11,a12,a13 都是1, 而 M11,M12,M13 分别为 1,-1,1 或 -1,1,-1

A的2,3行构成的列的取法 只能是 (1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T,(0,0)^T
而取到(0,0)^T 或 (1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T 中取到两个相同的, 都会导致M11,M12,M13中某一个为0
所以A的2,3行构成的列只能是 (1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T 的一个排列,比如
1 1 0
1 0 1
M11,M12,M13 分别为 1,1,1
这类排列共有6种, 逐一排除, 即得M11,M12,M13 不可能分别为 1,-1,1 或 -1,1,-1
所以|A|只能是0,正负1,正负2.

更高级 的做法还没想到......

Answer 2

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
计算结果为：
a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1

由于元素只可以为0或1，所以这里的每一项不是1就是0，分别代入验证即可。

值得指出的是，不可能出现等于3或-3的情形，因为不可能前三项均为1而后三项均为0。

Answer 3

分别设出矩阵中的元素，然后将行列式展开，观察一下式子就好了。