关于高中空间向量的计算问题

Question

请问用向量解立体几何有关角时
什么情况下sina=|(m*n)/|m|*|n||
什么情况需用先求出cosa=(m*n)/|m|*|n|,再用sina=√(1-cos^2a)
谢谢

Answer 1

一般而言，求线线角，直接用cosa=(m*n)/|m|*|n|；
求线面角，用sina=|(m*n)|/|m|*|n|,因为你实际上用的是法向量表示平面的；
求面面夹角，也用这个cosa=(m*n)/|m|*|n|；
但是求二面角的平面角的话，你要注意二面角是钝角的话，cosa=(m*n)/|m|*|n|求得是其补角。

追问

不好意思，我想问题目求sina,什么情况下可用sina=|(m*n)/|m|*|n||，
什么情况需用先求出cosa=(m*n)/|m|*|n|,再用sina=√(1-cos^2a)

谢谢

追答

a如果是直线与平面求的角，就直接用sina=|(m*n)|/|m|*|n|；
a如果是直线与直线成的角或者面面成的角，就先求出cosa=(m*n)/|m|*|n|,再用sina=√(1-cos^2a)

追问

请问为什么直线与平面求的角可以而直线与直线成的角或者面面成的角就不可以用
sina=|(m*n)|/|m|*|n|呢，谢谢

追答

因为向量运算中：向量m，n的数量积：m·n=|m|*|n|cos
所以我们一般用cos = |m·n|/|m|*|n| 求夹角的余弦。
直线与直线成的角或者面面成的角就是m，n的角（m，n或表示直线的方向向量或者平面的法向量），所以我们求的是其角的余弦。
但是直线与平面的角，我们在求的时候，是先求直线的方向向量与平面的法向量的夹角，这个角其实是直线与平面的角的余角，由诱导公式，所以求得同时是直线与平面的角的正弦。