抛物线y=x²-bx-5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，AF交Y轴于点E。

Question

|OD|:|OA|=5:1
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线AF的解析式；
(3)在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

1）疑似：|OB|:|OA|=5:1
设A(a,0),则B(-a,0)
依题意，两根之积为a*(-5a)=-5，
解得a=1，-1
因为A在x轴的负半轴，a<0
所以a=-1,
将A(-1，0)代人y=x²-bx-5，得，
1+b-5=0，
解得b=4
所以抛物线为y=x²-4x-5

2）配方，得y=x²-4x-5=(x-2)²-9
对称轴为直线x=2,
当x=0时，y=-5，则C(0，-5)
因为F和C关于x=2对称，
所以F(4，-5)
设直线AF为y=kx+b,则，
-k+b=0，
4k+b=-5，
解得k=-1,b=-1,
所以直线AF:y=-x-1

3）
当∠FCP=90°时，
此时P和点E重合，
当x=0时，直线y=-x-1=0,则E(0，-1)
所以P(0，-1)
当∠FPC=90°时，
过C作CP⊥AF,垂足为P,
因为CE=CO-OE=5-1=4，CF=4，
所以CE=CF
所以△CEP是等腰直角三角形
所以P是EF的中点，P(2，-2)
由上，符合条件的点P有两个(0，-1),(2，-2)