如图，一道高中数学数列题，求解

Question

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Answer 1

由题设，得a(n+2)-a(n+1)≤a(n+1)-a(n).
又a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
又a(10)-a(1)=a(10)-a(9)+···+a(2)-a(1)≥9[a(10)-a(9)]②
由①②得[a(20)-a(10)]/10≤a(11)-a(10)③
[a(1)-a(10)]/9≤a(9)-a(10)④
③+④得
[a(20)-a(10)]/10+[a(1)-a(10)]/9≤a(9)+a(11)-2a(10)≤0
解得a(10)≥28.故a(10)的最小值为28.

追问

a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
这里后面的 a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10) 是怎么得出来的？我不太懂，求解

追答

就是裂项，我可能没写清楚，就是a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+a(19)-a(18)+a(18)-a(17)+a(17)-a(16)+a(16)-a(15)+a(15)-a(14)+a(14)-a(13)+a(13)-a(12)+a(12)-a(11)+a(11)-a(10)

追问

懂了，这方法对我来说实在深奥了。。。。

追答

但只有这个方法是最严密的~

追问

好吧。。。有没有简单易懂点的。。。我脑子不太好。。。高中知识不扎实额

追答

可以这么理解，由题设有a(n+2)-a(n+1)≤a(n+1)-a(n).也就是数列{a(n)}的相邻项的差随n的增大而减小，但a(1)和a(20)是确定的，那么前面的项之间的差越大，后面的项之间的差越小，a(10)与a(20)越接近，a(10)会越大。所以要让a(10)取到最小值，就得让前面的项之间的差变小，后面的项之间的差变大，直到两者相等，后面的项之间的差达到最大，a(10)与a(20)之间的差距达到最大，则a(10)达到最小。这时相邻项之间的差都相等，是等差数列，公差=[a(20)-a(1)]/19=3,这样a(10)=a(1)+9*3=28.

Answer 2

记点A1（1，1），A2（2，a2），A3（3，a3），…，A19（19，a19），A20（20，58），
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2，可证明点A2，A3，…，A19均不可能在直线l的右下方区域．
而当点A2，A3，…，A19均在直线l上时，数列{an}构成等差数列，显然有an+2+an2=an+1，当然满足an+2+an2≤an+1，易得公差为3，a10=28，由于点A10不可能在直线l的右下方区域，所以a10≥3×10-2=28，所以a10的最小值为28．
故答案为：28．

参考资料：http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/c001803b-adfd-4d91-9490-2b28cf055cac?confirm=0

来自：求助得到的回答

Answer 3

1.可以讨论a1和a2之间的大小关系，如果a2小于等于a1，由条件可以推出a3小于等于a2（这里的证明可以利用a3+a1<=2a2<=a2+a1得到）；同理，可以继续推出a4小于等于a3...即数列为单调递减数列，与a20=58矛盾。所以a2应大于a1，同理继续推出数列为严格单调递增数列
2.补充定义a0=-2，由条件不难推出2a10>=a20+a0=56，所以a10最小值为28（这步不知道清不清楚），然后验证一下是否能取到这个最小值（想办法构造a2到a19即可）
3.至于a0是如何构造出来的，可以这么想：从条件来看，这个数列每相邻两项的差是递减或不变的，那么要使a10最小，那么从第一个差开始就要尽可能小；从1开始试，显然a20不可能为58，试到差为3且为等差时恰好满足a20=58，所以构造a0为-2。（这么说清楚吗？当然a2-a1完全可以比3大，而后面的相邻差就要做相应的调整，使之满足相邻差不变或递减且a20=58）

Answer 4

因为(an+2+an)/2≥an+1,
所以
(an+2)-(an+1)≥(an+1)-an 等于的时候为等差数列
又因为a1=1,a20=58,
所以d=(a20-a1)/19=3
所以a10最小=28