你好！请问： 如图，已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦

Question

你好！请问：如图，已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点(1)求椭圆和双曲线的标准方程（2）设直线PF1,PF2的斜率分别为K1,K2，证明KI*K2=13、是否存在常数t，使得|AB|+|CD|=t|AB|*|CD|恒成立？若存在，求t。
请问第三问！

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c/a=√2/2，及椭圆的定义得到又2a+2c=4(√2+1)，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=1/k （x-2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c/a=√2/2，得a=√2c，又2a+2c=4(√2+1)，
所以可解得a=2√2，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/4=1；
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为x²/4-y²/4=1．
（Ⅱ）设点P（x0，y0），
则k1=y0/﹙x0+2﹚，k2=y0/﹙x0-2﹚，
∴k1•k2=y0/﹙x0+2﹚•y0/﹙x0-2﹚=y0²/﹙x0²-4﹚，
又点P（x0，y0）在双曲线上，
∴x0²/4-y0²/4=1，即y0²=x0²-4，
∴k1•k2=y0²/﹙x0²-4﹚=1．
（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则由（II）知k1•k2=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=1/k （x-2），
由方程组
y=k(x+2)
x²/8+y²/4=1
消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由韦达定理得，x1+x2=-8k²/﹙1+2k²﹚，x1•x2=﹙8k²-8﹚/﹙2k²+1﹚，
∴AB=√﹙1+k²﹚√[(x1+x2)²-4x1x2]
=[4√2 (1+k²)]/﹙2k²+1﹚，
同理可得CD=√[1+(1/k)²]√[(x1+x2)²-4x1x2]
=[4√2 (1+1/k²)]/﹙2/k²+1﹚
=[4√2 (1+k²)]/﹙k²+2﹚，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=1/|AB|+1/|CD|
=[4√2 (1+k²)]/﹙2k²+1﹚-[4√2 (1+k²)]/﹙2k²+1﹚
=﹙3+3k²﹚/[4√2 (k²+1)]
=3√2/8，
∴存在常数λ=3√2/8，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

有疑问可以追问哦，。