4个常微分方程求解,本人基础差，稍微详细点，谢谢~~~

Question

1.y'=sinxcosy
2.y'=y^(1/2)+1
3.y'=x^2+y^2
4.y'+ysinx=e^x

Answer 1

1.分离变量
y'=dy/dx
dy/dx=sinxcosy
dy/cosy=sinxdx
∫secydy=∫sinxdx
ln|tan(y/2+π/4)|=-cosx+C1
tan(y/2+π/4)=±e^C1*e^(-cosx)=Ce^(-cosx)

y/2+π/4=arctan[Ce^(-cosx)]

y=2arctan[Ce^(-cosx)]-π/2

2.dx/dy=1/y'=1/[y^(1/2)+1]
∫(dx/dy)dy=∫1/[y^(1/2)+1]dy 令y=u^2,u>=0
∫dx=∫2u/(u+1)du 查表知∫u/(au+b)du=(au+b-bln|au+b|)/a^2+C
x=2(u+1-ln|u+1|)+C=2{y^(1/2)+1-ln[y^(1/2)+1]}+C

虽然没写成y=f(x)的形式，但这样也不一定会扣分，至少大部分的分得到了。

3.这是非齐次非线性微分方程，高等数学没有相关讲解，不知道你是从哪里找到这题的。

4.一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)书上有专有一节讲解，结果为：
y=Ce^[-∫P(x)dx]+e^[-∫P(x)dx]*{∫Q(x)*e^[∫P(x)dx]dx}
此题中P(x)=sinx,Q(x)=e^x.
所以y=Ce^(cosx)+e^(cosx)*∫e^x*e^(-cosx)dx

Answer 2

郭敦顒回答：
usbf|七级对1、2、4题已有回答，不再重复。对3题回答如下：
3.y'=x^2+y^2
dy/dx=x²+y²
dy=x² dx +y²dx
∫dy=∫x²dx+∫y²dx
y=（1/3）x³+∫y²dx
∫y²dx=y－（1/3）x³
∴[y－（1/3）x³]′=y²
∴（1/3）y³= y－（1/3）x³
∴（1/3）y³－y+（1/3）x³+C=0