已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且limx->0f(x)/1-cosx=2,则在x=0处f(x)？

Question

已知fx在x=0的某邻域内连续，且limx->0f(x)/1-cosx=2，则在x=0处f(x)？为啥取得极小值？

这是选择题，A不可导，B可导，且f'(x)不等于0 ，C，取得极大值 D，取得极小值 答案是D

Answer 1

limx->0f(x)/(1-cosx)=2。

∵x->0分母1-cosx→0。

极限=2，f(0)→0。

洛必达法则：

lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依旧为0，极限存在，f'(0)=0。

继续求导：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。

∴f''(0)=2>0。

∴f(0)=0为极小值。

扩展资料：

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

limx->0f(x)/(1-cosx)=2。

∵x->0分母1-cosx→0。

极限=2，f(0)→0。

洛必达法则：

lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依旧为0，极限存在，f'(0)=0。

继续求导：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。

∴f''(0)=2>0。

∴f(0)=0为极小值。

扩展资料：

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

Answer 3

前面直接用洛必达的不对，因为题目没有提到且没办法推出f(x)在x=0的某邻域内可导，只是在某邻域内连续而已。本题主要通过函数连续的定义、导数定义、函数极限的保号性、极值定义求解。注意判定极值的时候，不能用极值的三个充分条件判定，因为他们的前提都是在x0的某邻域内可导。

Answer 4

由于1-cosx在x=0的左邻域与右邻域内都有limx→0 1-cosx>0 由保号性与连续性可知邻域内的点有limx→0 f(x)=f(x)>0=f(0) 即f(0)是极小值点
由极小值的定义如下：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
看了他们的答案好像都用到了导数，实际这题考察的是极值的原始定义

Answer 5

limx->0f(x)/(1-cosx)=2
∵x->0分母1-cosx→0
极限=2，f(0)→0
洛必达法则
lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0，分母依旧为0，极限存在，f'(0)=0
继续求导：=lim(x->0)f''(0)/cos0=2
∴f''(0)=2>0
∴f(0)=0为极小值。