实对称矩阵一定可以对角化？

Question

如题，请别告诉我什么肯定有n个线性无关的特征向量，每个k重特征值有k个无关的向量，那是书上没证明的原话，我要的是原始证明

Answer 1

实对称矩阵一定可以对角化，因为相似对角化的充要条件是n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，充分条件是A有n个不同的特征值，而n个不同的特征值一定对应n个线性无关的特征向量，实对称矩阵n重特征值对应n个线性无关的特征向量，所以实对称矩阵一定可以对角化。

扩展资料：

实对称矩阵的性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值，必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

Answer 2

设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵p,使得p'Ap为对角型矩阵。
如果你是理工科学线性代数的学生，则可以不去深究定理的证明，现在一般的理工科都不要求掌握证明，只要会化实对称矩阵为对角型就可以了。
如果你是数学系学习高等代数的学生，则证明这个定理的方法有很多，可以用用数学归纳法，还可以用若当标准形的理论，对称变换的理论等证明该定理。但这都需要一些其他知识做准备。如欧氏空间的对称变换或入-矩阵的若当标准型等，那就不是一两句话能说得清的。
所以，一般的线性代数教材就只告诉你结论，会用就ok了。