已知a,b,c是正数，a+b+c=1,证明（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3

Question

=

Answer 1

答：
解法一:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)^2
1/a+1/b+1/c≥9
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
≥(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2≥(1+9)^2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3
解法二：
由排序不等式知
3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
由均值不等式知
1=a+b+c≥3(abc)^(1/3),即1/abc≥[3/(a+b+c)]^3
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2
=(a^2+b^2+c^2)+(1/a^2+1/b^2+1/c^2)+6
≥(a+b+c)^2/3+3(1/abc)^(2/3)+6
≥1/3+27+6=100/3
解法三：
设y=(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2
y''=2+6/x^4>0,y是凸函数，
由琴森不等式
[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥f[(a+b+c)/3]
代入即可证明不等式。

Answer 2

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥[√a*1/(√a)+√b*1/(√b)+√c*1/(√c)]^2=(1+1+1)^2，
则1/a+1/b+1/c≥9，
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
≥(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2≥(1+9)^2，
3除过去，(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3，得证。

Answer 3

证明如下：
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]*(1+1+1)>=(a+b+c+1/a+1/b+1/c)^2 (柯西不等式)
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=[(1+1/a+1/b+1/c)^2]/3
因为 3/(1/a+1/b+1/c)<=(a+b+c)/3=1/3 (基本不等式)
所以 1/a+1/b+1/c>=9
所以 (a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=[(1+9)^2]/3=100/3