已知函数f(x)=x/lnx - ax(a∈R)

Question

已知函数f(x)=x/lnx - ax(a∈R)
(1)若实数a=0，求函数f(x)在区间(1.正无穷)上的最小值
(2)若函数f(X)在其定义域上位减函数，求a的范围，
(3)若特定x1，x2∈[e,e^2],使f(x1)≤f(x2)+a成立，求a的范围

Answer 1

(1) a=0时，f(x)=x/lnx ，令f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²=0，得 x=e
x∈(1,e)时，f'(x)＜0，f(x)单调减；x∈(e,+∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调增，
所以，函数f(x)在区间(1，+∞)上的最小值为 f(e)=e
(2)由题意，当x＞0时， f'(x)=(lnx-1)/(lnx)²-a=(-aln²x+lnx-1)/ln²x≤0恒成立，
即-aln²x+lnx-1≤0恒成立，
即 a≥(lnx-1)/ln²x=-(1/lnx-1/2)²+1/4恒成立，
所以，a≥1/4
(3)"特定x1，x2∈[e,e^2]"看不懂，不好意思！

Answer 2

（1）先求导，导函数=（lnx -1）/（lnx *lnx ) 令lnx -1=0，得X=e,所以当X=e，去最值带入原函数得f(x)=e
（2)和（3）同理求导即可，如果觉得好，我在把答案发给你