MATLAB学习笔记02：1.特殊矩阵、2.矩阵变换、3.矩阵求指、4.矩阵的特征值和特征向量、5.稀疏矩阵

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声明：本人学习MATLAB的课程来源为：数学建模比赛MATLAB从入门到精通教程_哔哩哔哩_bilibili

本文章只是本人的学习笔记，对视频PPT中的内容作了注释。如果大家想系统的学习，建议看原视频。

概要：一、特殊矩阵
randn() 函数举例:
A_1中元素的均值为0，方差为1

1.1 以 zeros() 函数 为例
注：其他函数的语法同理

例题：

1.2 魔方矩阵（Magic Square）
n阶魔方矩阵：由nxn个元素组成，元素的值为：(1 \sim n^2 )的整数，且不重复。每行、每列、主、副对角线上元素之和相等，为(1+2+3+...+n^2)/n = (n+n^3)/2
语法：magic(n) 产生n阶魔方阵

1.3 范德蒙矩阵
n阶范德蒙矩阵：给定一个n维向量，范德蒙矩阵由这个 n维向量的0次、1次、2次、...... 、n-1次方构成
语法：vander(向量)

1.4 希尔伯特矩阵
n阶希尔伯特矩阵：元素值=1/(行号+列号-1)
语法：hilb(n)
补充：format rat ,数据用分数表示

1.5 伴随矩阵
n阶伴随矩阵：已知n次多项式 p(x) ,则第一行的值如下，其他行的值由0和1组成、
其中：p(x)=0的根为矩阵A的特征值
语法：compan(多项式系数组成的向量)

1.6 帕斯卡矩阵
n阶帕斯卡矩阵：根据二项式定理，对(x+y)^n展开后的系数进行排列，也可以看出杨辉三角
帕斯卡矩阵特点：
语法：pascal(n)

二、矩阵变换
2.1 对角阵
1.提取对角线元素
MATLAB矩阵对角线规定：主对角线为第0条对角线，往右or上，k+1；往左or下，k-1
对角矩阵常用来总体改变矩阵每一行或者每一列的值

2.2 三角阵
1.上三角矩阵triu(其中u代表up)
2.下三角矩阵tril(其中l代表low)
用法与上三角矩阵triu完全相同

2.3 矩阵的转置
2.4 矩阵的旋转
2.5 矩阵的翻转
2.6 矩阵的求逆
方阵A和方阵B，若AB=BA=I（单位矩阵）,则AB互逆
求A的逆矩阵语法：

三、矩阵求值
3.1 矩阵的行列式
3.2 矩阵的秩
矩阵的秩：矩阵线性无关的行数或列数

3.3 矩阵的迹
矩阵的迹 = 矩阵的对角线元素之和 = 矩阵的特征值之和

3.4 向量和矩阵的范数
1.向量的3种常用范数
2.矩阵的范数
矩阵的范数调用和向量的范数一样，用norm函数

3.5 矩阵的条件数
矩阵A的条件数 = A的范数 * A逆的范数
条件数越接近1，矩阵的性能越好，反之越差

四、矩阵的特征值与特征向量
矩阵特征值和特征向量：设 A是n阶方阵 ，如果存在 常数 [公式] 和 n维非零列向量X ,使得 等式AX= [公式] X成立 ，则称 [公式] 为A的特征值 ，X是对应特征值 [公式] 的特征向量

函数调用格式：

特征值的几何意义：变换矩阵

令[公式] ， [公式] 其中 [公式] 表示向量

则A相当于变换矩阵 ，结果相当于让向量 [公式] 伸缩了 [公式] 倍，得到向量 [公式]

当X不是特征向量时，则AX后的结果会发生旋转

五、稀疏矩阵
稀疏矩阵：矩阵中0元素远远多于非0元素

5.1 矩阵的存储方式
完全存储方式 与 稀疏存储方式 之间的转化

5.2 直接建立稀疏存储矩阵
用spconvert函数 直接建立稀疏存储矩阵，含义如下：

5.3 带状稀疏矩阵的稀疏存储
稀疏矩阵分为：
带状稀疏矩阵(结构规则的）：所有非零元素集中在对角线上的矩阵，但并不是对角线元素都非零

5.4 单位矩阵的稀疏存储