几何分布的方差公式如何推导？

Question

今天无聊想推导下几何分布的方差公式，但是推到一半思路被打劫了，我暂无灵感；然后我上网查，但是多是利用导数求导，可导数在后面一章咧，没学。请高手以最简便方法推导，最好能避开公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)^2]进行推导。虽然这个公式我也会证明，但是我想看看有没有能用目前已学知识推导出方差公式，还是真的就要用到导数来推？最好是特级数学教师指点下，谢谢你们！

Answer 1

证明：Eξ=p+2qp+3q�0�5p+…+k[q^(k-1)]p+…=p(1+2q+3q�0�5+…) 设S<n>=1+2q+3q�0�5+…+nq^(n-1)， 则由qS<n>=q+2q�0�5+…+(n-1)q^(n-1)+nq^n 两式相减，得(1-q)S<n>=1+q+q�0�5+…+q^(n-1)-nq^n 故S<n>=(1-q^n)/(1-q)�0�5-nq^n/(1-q)，则 S=lim<n→∞>S<n>=1/(1-q)�0�5=1/p�0�5，即Eξ=1/p E(ξ�0�5)=p+2�0�5qp+3�0�5q�0�5p+…+k�0�5[q^(k-1)]p+… =p[1+2�0�5q+3�0�5q�0�5+…+k�0�5q^(k-1)+…] 对于上式括号中的求和，利用导数对q求导，即 k�0�5q^(k-1)=(kq^k)`,有 1+2�0�5q+3�0�5q�0�5+…+k�0�5q^(k-1)+… =(q+2q�0�5+3q�0�6+…+kq^k+…)`(与求Eξ同样方法，得到) =[q/(1-q)�0�5]` =[(1-q)�0�5-2q(1-q)(-1)]/(1-q)^4 =(1+q)/(1-q)�0�6 =(2-p)/p�0�6 因此E(ξ�0�5)=p[(2-p)/p�0�6]=(2-p)/p�0�5 则Dξ=E(ξ�0�5)-(Eξ)�0�5=(2-p)/p�0�5-(1/p)�0�5=(1-p)/p�0�5

Answer 2

没有导数也可以求，但是很麻烦，老师都不愿意讲了