求学霸帮我解这道最简单的大学物理题-电磁感应

Question

如图所示，长直线导线通以I=5A的电流，矩形线圈与导线平行。已知a=4cm，b=6cm，d=5cm，v=3cm/s,求先全中感应电动势的大小与方向。若线圈的电阻为10^-4 欧姆，求此时的电功率以及线圈收到的安培力。
电流方向向上。

Answer 1

先用安培环路定理计算通电直导线周围的磁场，有距离导线为r的地方， 2*π*r*B=μ0*I成立，计算得B=μ0*I/(2*π*r)，之后计算磁通量ψ，由于a为4cm，故计算时，积分下限为r，上限为r+0.04（m），对0.06*B积分，计算得ψ=（（0.06*μ0*I）/2*π）*ln（1+0.04/r），将r=0.03*t代入，计算dψ/dt，即可得到电动势与t的关系，由于此时d=0.05，故此时t=5/3，代入之前得到的表达式，电动势即可求得。之后有了电动势，电阻又知道，那么就可以算出电流，进而得到功率，再结合之前算得的直导线周围的磁感应强度，即可算出线圈两竖直边分别的受力，合成起来就是线圈的总受力。
计算思路就是这样，过程你自己算算吧，算不出来再追问。

追问

我微积分了半天，求不出你的那个ψ的值是你的那个。 而且为什么d=o.o5，所以t=5/3 ?

他一开始就已经距离是d=0.05m了

求的应该是瞬间的，而不是∑的

追答

先建立坐标系，如图，y轴与导线重合

之后计算以此为基准

首先，B的表达式中，r变为此图中的x，计算积分，如下：

计算得到的ψ就是在线圈左边竖直边在x处时，通过线圈的磁通量。

我那个t=5/3是初始时刻的选择问题，我选的是以线圈左边竖直边与导线重合时为时间零点，之后以v向右运动，你也可以选取此时刻为时间零点，这样，就有x=0.05+3t，带回ψ的表达式，再计算dψ/dt，然后将t=0代入就可以得到电动势了。

我之所以那样选，是因为这样的话就有x=3t了，带回去微分时，字母运算量要小些，只是代数是数据稍微麻烦一些。如果直接按你的想法选的话，微分时稍复杂，但代数时简单。

有不懂的地方欢迎再追问。



追问

接着按照你的算了一下，得dψ/dt=0.06uI/2π*(3/(0.09+3t)-3/(0.05+3t))

把t=0代进去，得4uI/5π 

把I=5A代进去， 得E=4u/π ———是代入长直导线的电流吗？

如果是的话，那么线圈电流 I=E/R=40000u/π

功率=IE=I^2R=16000u^2/π^2

安培力=BL=uI/2π=20000u^2/π^2 * 0.06我这样做，对了吗？

追答

首先，I的值代入时是代入长直导线的电流，没错。之后的计算中，电流计算没问题，功率也没问题。
安培力表达式有问题，应该是F=BIL，不过你代数是有0.06，所以这个错误应该是笔误。由于线圈左、右竖直边处的磁场大小不同，所以受力是不一样的，应该分别计算，然后再合成成一个，所以这一步做错了。你似乎只算了左边的，而且代数时好像错了，少了100倍。
应该是这样的：
左边：F=BIL=BL*（40000u/π）=(uI/2*π*x)*L*（40000u/π），将I=5，x=0.05代入，得到F=2000000u^2/π^2 * 0.06
右边计算只是将x变为0.09，之后将两个数值相减，得到线圈收到的合力，方向向左。