已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n（n

Question

已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n（n大于1）个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、乙． （1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；（2）比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．

Answer 1

（1）由图知，甲系统中每个通路能正常工作的概率为pⁿ，故整个系统能正常工作的概率是p₁=1-（1-pⁿ）²=pⁿ（2-pⁿ），
乙系统每个小并联电路能正常工作的概率是p（2-p），故整个系统能正常工作的概率是p₂=pⁿ（2-p）ⁿ．（4分）
（2）由于p₂-p₁=pⁿ[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]，故比较p₁与p₂的大小可通过比较[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]符号，
当n=2时，有（2-p）²-（2-p²）=2（1-p）²＞0  （0＜p＜1）．故有n=2时，（2-p）²＞2-p²，
假设n=k时，有（2-p）^k＞2-p^k，
当n=k+1时，（2-p）^k+1-（2-p^k+1）=（2-p）（2-p）^k-（2-p^k+1）=2（1-p）（2-p^k）
由于0＜p＜1，可得2（1-p）（2-p^k）＞0，故有n=k+1时，（2-p）^k+1＞（2-p^k+1），
综上证得p₂＞p₁，
由此结论知，在所用的电子器件数目一样的情况下，乙系统工作情况比甲系统更稳定，出现不正常工作的可能小，较可靠．