一道初中数学题，请高手们解释答案怎么理解，谢谢

Question

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

求解答，谢谢，重分悬赏！

Answer 1

注意看规律，三角形数的第一个是1，第二个在第一个基础上加2，第三个在第一个基础上加3.。。。。所以规律很显然，第n个三角形数就是从1一直加到n.n=1+2+3+4+5+……+n=0.5*n*(n+1).
正方形数的话，第一个是一个1，第二个是2个2，第三个是3个3，第四个是4个4，规律也比较明显，第n个数就n个n,即n²。
既是三角形数也是正方形数就是表示答案要同时满足两个公式，但注意，两个公式中n的值可能不一样，因为这个数可能是第12个三角形数，第14个正方形数。
看四个选项，只有B、D是完全平方数。所以答案在B和D中。令25=0.5*n*(n+1)，没有这样的正整数n.所以答案是D。验证一下：1225=35²=0.5*49*（49+1）.答案正确

追问

n（n+1）是什么意思？0.5*49*（49+1）又是怎么得出来的呢？麻烦解答一下，重金悬赏，拜托了！

追答

求和公式，不会没学过吧，基础要补哦。1+2+3+……+n中，是不是1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=,,,,,,,就是说从1加到n话，第一个加最后一个的值=第二个加倒数第二个的值=第三个加倒数第三个的值-……=n+1。那么有多少个这样的n+1呢？
显然当n是奇数的时候，就有0.5*（n-1）个，此时总和是0.5*（n-1）*（n+1）+中间那个数。中间那个数是0.5*（n+1），所以当n是奇数的时候，从1加到n的值就是0.5*（n-1）*（n+1）+0.5*（n+1），化简即是0.5n*(n+1)
同理，当n为偶数时，从1回到n有0.5n个n+1，求和的结果也是0.5n*(n+1)

另一个问题，有很多种算法。最简单的是代入公式求未知数。1225=0.5n*(n+1)即n(n+1)=2450.此时你可以直接把括号展开用求根公式算，也可以自己估算。估算的技巧是n(n+1)是两个只相差1的两个数相乘，结果肯定近似于2450开根号的值。开根号之后是49.？？？，所以代入49试一次就求出来了

Answer 2

注：n为第n个图像
n(n+1)/2=a²
n²+n=2a²
4n²+4n+1=8a²+1
(2n+1)²-8a²=1
解出这个佩尔方程即可
最小解是2n+1=3,a=1
n=a=1
则这个数是1

若要求不是1的
则下一组解是2n+1=17,a=6
n=8，a=6
这个数是36

佩尔方程
(2n+1)²-8a²=1
最小解是2n+1=3,a=1
所以2n+1=[(3+√8)^k+(3-√8)^k]/2
其中k是整数
把k=1，2，3，4，……代入即可

Answer 3

选D，设n为图形的序号，则三角形数可写成n(n+1)/2,正方形数可写成n的平方，四个选项中只有1225符合要求。1225=35的平方，1225=（49乘以50）除以2，所以选D。望采纳

追问

1225=（49乘以50）除以2，为什么是（49*50）/2呢？

追答

三角形数的图案中，第一行有一个数，第二行有两个数，依次列推，若三角形有n行，则为1+2+...+
n的值。由图可知，第n个三角形有n行。因为1+2+...+n=n(n+1)/2,所以第n个三角形数的值为n(n+1)
/2。而1225正好符合这种形式，是第49个三角形数的值

Answer 4

1 、首先正方形数应该是一个数的平方,所以从BD中 选
2、三角形数应满足 数字=n(n-1)/2 n是三角形行的数目，n=50 时D满足，所以选择D

Answer 5

三角形所用石子数：n个：1+2+……+n=n（n+1）/2
正方形所用石子数：n个：n^2
25=5^2 1225=35^2
1+2+3+4+5+6<25<1+2+3+4+5+6+7
1225=1+2+……+49
所以选D