(a^2-x^2)^0.5/(x^2)的积分，高手帮帮忙，急啊

Answer 1

设x=a*sint {-л/2≦t≦л/2}，则dx=a*cost dt；
∫[√(a²-x²)/x²] dx=∫[a*cost/(asint)²]*(a*cost) dt=∫[(1-sin²t)/sin²t]dt=-t+∫dt/sin²t=-t+cot(t)+C
=-arcsin(x/a)+√[1-(x/a)²]/(x/a)+C=-arcsin(x/a)+√(a²-x²)/x+C

追问

高手，麻烦在检查一下答案，貌似与所提供的答案有出入，谢啦！

追答

∫dt/sin²t=-cot(t)； ∫=-t-cot(t)+C＝-arcsin(x/a)－√(a²-x²)/x+C；
函数及其积分在x=0处不连续，似乎有些纠结。假如要计算[-a,a]区间上的定积分，用推导式计算则结果不正确；而x仅取正值或x仅取负值都分别正确。事实上被积函数是x²形式的偶函数，可以设定其作为自变量须大于0。类似纠结在反比例函数积分时也存在。